sklearn 的 pairwise_distances with metric='correlation' 有什么作用？

Question

我在这个函数中输入了不同的值并观察了输出。但我在输出的内容中找不到可预测的模式。

然后我尝试挖掘 function 本身，但它令人困惑，因为它可以进行许多不同的计算。

根据Docs：

Compute the distance matrix from a vector array X and optional Y.

我看到它返回一个高度和宽度矩阵，等于输入的嵌套列表的数量，这意味着它正在比较每个列表。

但除此之外，我很难理解它在做什么以及价值来自哪里。

我尝试过的示例：

pairwise_distances([[1]], metric='correlation')
>>> array([[0.]])

pairwise_distances([[1], [1]], metric='correlation')
>>> array([[ 0., nan],
>>>        [nan,  0.]])

# returns same as last input although input values differ
pairwise_distances([[1], [2]], metric='correlation')
>>> array([[ 0., nan],
>>>        [nan,  0.]])

pairwise_distances([[1,2], [1,2]], metric='correlation')
>>> array([[0.00000000e+00, 2.22044605e-16],
>>>        [2.22044605e-16, 0.00000000e+00]])

# returns same as last input although input values differ
# I incorrectly expected more distance because input values differ more
pairwise_distances([[1,2], [1,3]], metric='correlation')
>>> array([[0.00000000e+00, 2.22044605e-16],
>>>       [2.22044605e-16, 0.00000000e+00]])

用 Scipy 计算相关距离

如果 scipy 针对相同的输入返回 0.0，我不明白 sklearn 2.22044605e-16 值的来源。

# Scipy
import scipy
scipy.spatial.distance.correlation([1,2], [1,2])
>>> 0.0

# Sklearn
pairwise_distances([[1,2], [1,2]], metric='correlation')
>>> array([[0.00000000e+00, 2.22044605e-16],
>>>        [2.22044605e-16, 0.00000000e+00]])

我不是在寻找高级别的解释，而是如何计算数字的示例。

Answer 1

pairwise_distances 内部调用distance.pdist()，当y 是None（这意味着我们要计算X 中每个向量的距离矩阵）

参考1，2

实现类似于以下内容：

X = np.array([[1,2], [1,2]])

import numpy as np
from numpy.linalg import norm

X2 = X - X.mean(axis=1, keepdims=True)

u, v =[*X2]

1 - (sum(u*v)/(norm(u) * norm(v)))

#2.220446049250313e-16

但scipy.spatial.distance.correlation 的实现在最新版本中有所不同

latest version, old version

如果我们将权重设置为None，下面的sn-p就是它的简化版：

u, v = np.array([1,2]), np.array([1,2])

umu = np.average(u)
vmu = np.average(v)
u = u - umu
v = v - vmu
uv = np.average(u * v)
uu = np.average(np.square(u))
vv = np.average(np.square(v))
dist = 1.0 - uv / np.sqrt(uu * vv)
dist

#0

Answer 2

距离指标可以在这里找到： https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/spatial.distance.html

而相关性就在这里：

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.spatial.distance.correlation.html#scipy.spatial.distance.correlation

u和v之间的相关距离，定义为

Answer 3

import sklearn

X = [[1, 2, 3, 4], [2, 2, 4, 4], [4, 3, 2, 1]]

D = sklearn.metrics.pairwise_distances(X, metric='correlation')
print(D)

输出：

[[0.         0.10557281 2.        ]
 [0.10557281 0.         1.89442719]
 [2.         1.89442719 0.        ]]

D 是一个距离矩阵，使得 D_{{i, j}} 是第 i^th 和 j^th 给定矩阵的向量X。

import scipy

X = [[1, 2, 3, 4], [2, 2, 4, 4], [4, 3, 2, 1]]

c_00 = scipy.spatial.distance.correlation(X[0], X[0])        # c_00 = 0.0
c_01 = scipy.spatial.distance.correlation(X[0], X[1])        # c_01 = 0.10557280900008414
c_02 = scipy.spatial.distance.correlation(X[0], X[2])        # c_02 = 2.0

---

如果 scipy 针对相同的输入返回 0.0，我不明白 sklearn 2.22044605e-16 值的来源。

这可能是round-off error。

import numpy as np
epsilon = np.finfo(float).eps
print(epsilon)

输出：

2.220446049250313e-16                                    # This value is machine dependent

您可以使用np.isclose 将极小的值四舍五入为 0。

Answer 4

我完全理解这种困惑。

在向量上计算相关性，sklearn 将标量转换为大小为 1 的向量。

结果

from sklearn.metrics import pairwise_distances
from scipy.spatial.distance import correlation
pairwise_distances([u,v,w], metric='correlation')

是一个矩阵M，形状为(len([u,v,w]),len([u,v,w]))=(3,3)，其中：

M[0,0] = correlation(u,u)
M[0,1] = correlation(u,v)
M[0,2] = correlation(u,w)
M[1,0] = correlation(v,u)
M[1,1] = correlation(v,v)
M[1,2] = correlation(v,w)
M[2,0] = correlation(w,u)
M[2,1] = correlation(w,v)
M[2,2] = correlation(w,w)

您正在查看的 correlation([u,v,w], [u,v,w]) 只有在 u 、v 和 w 是标量时才具有有效值。