Numpy 矩阵运算

Question

我想为所有i 和j 计算以下值：

M_ki = Sum[A_ij - A_ik - A_kj + A_kk, 1 <= j <= n]

如何在没有显式循环的情况下使用 Numpy (Python) 来做到这一点？

谢谢！

Answer 1

这是解决此类问题的一般策略。

首先，编写一个小脚本，在两个不同的函数中显式编写循环，最后进行测试，确保两个函数完全相同：

import numpy as np
from numpy import newaxis

def explicit(a):
    n = a.shape[0]
    m = np.zeros_like(a)
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                m[k,i] += a[i,j] - a[i,k] - a[k,j] + a[k,k]
    return m

def implicit(a):
    n = a.shape[0]
    m = np.zeros_like(a)
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                m[k,i] += a[i,j] - a[i,k] - a[k,j] + a[k,k]
    return m

a = np.random.randn(10,10)
assert np.allclose(explicit(a), implicit(a), atol=1e-10, rtol=0.)

然后，通过编辑 implicit 逐步矢量化函数，在每一步运行脚本以确保它们继续保持不变：

第一步

def implicit(a):
    n = a.shape[0]
    m = np.zeros_like(a)
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            m[k,i] = (a[i,:] - a[k,:]).sum() - n*a[i,k] + n*a[k,k]
    return m

第 2 步

def implicit(a):
    n = a.shape[0]
    m = np.zeros_like(a)
    m = - n*a.T + n*np.diag(a)[:,newaxis]
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            m[k,i] += (a[i,:] - a[k,:]).sum()
    return m

第 3 步

def implicit(a):
    n = a.shape[0]
    m = np.zeros_like(a)
    m = - n*a.T + n*np.diag(a)[:,newaxis]
    m += (a.T[newaxis,...] - a[...,newaxis]).sum(1)
    return m

瞧！最后一个没有循环。要矢量化这种方程，broadcasting 是要走的路！

警告：确保explicit 是您要矢量化的方程。我不确定不依赖于j 的术语是否也应该相加。