在 Python 中最小化（优化）特定特征值

Question

我编写了一个从文件中读取数组的简单 Python 代码。所有数组元素都包含基本的代数运算（例如y*w+2*(w+y)）。这些被读入，然后使用eval 命令评估所有数组元素（我知道使用eval 的安全问题，但这个脚本只会被我使用，我希望不会做任何事情愚蠢的）。

然后使用这些数组来解决一般特征值问题并获得特征值和向量。我的问题是如何通过改变矩阵中的某些参数来最小化（优化）特定的特征值？这是一个基本示例：

import numpy as np
from scipy.linalg import eig

y=10
w=3.45

x = np.array([[y+w,-2],[-2,w-2*(w+y)]])

eigenVal,eigenVec=eig(x)

print eigenVal[0]

矩阵不是最好的例子，而只是一个最小的例子。这个想法是改变两个参数 y 和 w 以最小化特定的特征值（例如第一个特征值，eigenVal[0]）。之前在C++写过一些基本的优化算法，但是想探索一下Python优化库。这些矩阵可以变得非常大，那么解决这个问题的最佳方法是什么？

Answer 1

你想使用scipy.optimize.minimize。

import numpy as np
from scipy.linalg import eig
from scipy.optimize import minimize

def my_func(x):
    y, w = x
    arr = np.array([[y+w,-2],[-2,w-2*(w+y)]])
    ev, ew=eig(arr)
    return ev[0]

x0 = np.array([10, 3.45])  # Initial guess

minimize(my_func, x0)
# ComplexWarning: Casting complex values to real discards the imaginary part
#       fun: -127806953.0230245
#  hess_inv: array([[1, 0],
#        [0, 1]])
#       jac: array([ 0.,  0.])
#   message: 'Optimization terminated successfully.'
#      nfev: 60
#       nit: 1
#      njev: 15
#    status: 0
#   success: True
#         x: array([-63809761.27752077, -63997191.74550374])

这个ComplexError令人担忧；您应该使用bounds 参数或constraints 参数。我不知道你的问题的限制，所以我跳过了那部分。一个不错的约束是矩阵应该是totally positive，这保证了正的实特征值。但这是不可能的，因为您的矩阵中有一个常量 -2。

您可以通过以下方式访问优化结果：

a = minimize(my_func, x0)
print(a.x)
# array([-63809761.27752077, -63997191.74550374])