拟合反比例函数

Question

我想将函数 f(x) = b + a / x 拟合到我的数据集。为此，我发现来自 optimize 的 scipy leastsquares 是合适的。

我的代码如下：

x = np.asarray(range(20,401,20))

y 是我计算的距离，但是是一个长度为 20 的数组，这里只是以随机数为例

y = np.random.rand(20)

对参数 a 和 b 的初步猜测：

params = np.array([1,1])

最小化函数

def funcinv(x):
    return params[0]/x+params[1]

res = least_squares(funinv, params, args=(x, y))

给出的错误：

 return np.atleast_1d(fun(x, *args, **kwargs))

TypeError: funinv() 接受 1 个位置参数，但给出了 3 个

如何拟合我的数据？

Answer 1

为了澄清一点。有两个相关的问题：

1. 最小化函数
2. 将模型拟合到数据

将模型拟合到观察数据就是找到模型的这样的参数，这些参数最小化模型数据和观察数据之间的某种误差。

least_squares 方法只是最小化关于x 的跟随函数（x 可以是一个向量）。

F(x) = 0.5 * sum(rho(f_i(x)**2), i = 0, ..., m - 1)

（rho 是一个损失函数，默认是rho(x) = x 所以暂时不要介意）

least_squares(func, x0) 期望调用func(x) 将返回一个向量[a1, a2, a3, ...]，将为其计算平方和：S = 0.5 * (a1^2 + a2^2 + a3^2 + ...)。

least_squares 将调整x0 以最小化S。

因此，为了使用它来拟合模型到数据，必须在模型和实际数据之间构建一个误差函数 - residuals，然后最小化该 residuals功能。在你的情况下，你可以这样写：

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares

x = np.asarray(range(20,401,20))
y = np.random.rand(20)
params = np.array([1,1])

def funcinv(x, a, b):
    return b + a/x

def residuals(params, x, data):
    # evaluates function given vector of params [a, b]
    # and return residuals: (observed_data - model_data)
    a, b = params
    func_eval = funcinv(x, a, b)
    return (data - func_eval)

res = least_squares(residuals, params, args=(x, y))

这给出了一个结果： print(res)

... 
message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
    nfev: 4
    njev: 4   optimality: 5.6774618339971994e-10
    status: 1
    success: True
    x: array([ 6.89518618,  0.37118815])

然而，作为一个残差函数几乎一直是相同的 (res = observed_data - model_data)，scipy.optimize 中有一个快捷方式，称为curve_fit：curve_fit(func, xdata, ydata, x0)。 curve_fit 自动构建残差函数，你可以简单地写：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

x = np.asarray(range(20,401,20))
y = np.random.rand(20)
params = np.array([1,1])

def funcinv(x, a, b):
    return b + a/x

res = curve_fit(funcinv, x, y, params)
print(res)  #  ... array([ 6.89518618,  0.37118815]), ...