为什么 scipy.optimize.root 会收敛到错误的解决方案？答案

【问题标题】：Why does scipy.optimize.root converge to a wrong solution?为什么 scipy.optimize.root 会收敛到错误的解决方案？
【发布时间】：2014-02-11 11:30:04
【问题描述】：

我正在做一个项目，我正在使用根求解器来查找曲线的一些参数，这些参数会导致曲线的端点位于具有特定切向量 的特定位置 x1 >n1。我正在使用的参数是 Frenet-Serret 曲线，以防万一它有助于理解问题。

这是我试图找到根源的函数：

def f(x):
  k0, k2, t0, t1, t2 = x

  # s0, s1, and s2 are references into curve
  s0.curvature = k0
  s2.curvature = k2
  s0.torsion = t0
  s1.torsion = t1
  s2.torsion = t2

  r = curve.end_point(basis=True)
  n1t, x1t = r[0][0], r[1]
  dx = x1t-x1
  dn = n1t-n1
  return [dx[0], dx[1], dx[2], sum(dn), sum(dn**2)]

由于输入是一个 5 向量，因此它期望一个 5 向量作为输出，并且没有一种非常自然的方式来选择 5 个方程。我使用位置差异的分量，因为这是有道理的，并且法线向量的绝对差异似乎足够强。我只是添加了sum(dn) 部分，希望能给求解器提供更多信息。

我知道我在这里对曲线进行了就地修改，所以如果求解器没有收敛，它会使曲线处于令人讨厌的状态；这些实际上是副本，在接受输出之前我正在检查收敛性。现在我相当确定这不是现在的问题，因为我的问题发生在收敛期间，所以这让我认为这与我如何设置终止条件有关。

问题是绝大多数时候我得到了很好的解决方案，但有时，求解器会认为它找到了解决方案，而曲线的终点就会很远。或者，有时，求解器会陷入僵局，依次出现几个解决方案会非常糟糕。我错过了什么吗？是我的条件不够强还是有其他问题？

编辑：

有人询问有关 scipy 给我的结果对象的更多信息。我用xtol=1e-6 运行了这个试验，直到计算出的终点和终点切线似乎离目标远超过 0.1 个单位。

*******************************************************************************
Something seems to be the matter!
*******************************************************************************

The solution did converge yet...

- The absolute difference in the end point is 0.0108799344285 
- The absolute difference in the end tangent is 0.225645622344

Here is the result from scipy:

  status: 1
 success: True
     qtf: array([-0.05326282, -0.02382437,  0.14675375, -0.01343988,  0.04837993])
    nfev: 51
       r: array([  4.10027838e-01,   2.80055126e-04,   2.72346438e-01,
         1.88121754e-02,   3.03986277e-03,   3.76073132e-02,
        -3.91459070e-03,  -5.44385807e-02,  -3.82769383e-02,
         1.41418659e-01,  -5.02200767e-02,  -8.25093288e-03,
         6.76335001e-02,   1.14316378e-02,   6.38501029e-05])
     fun: array([-0.06421218,  0.10206985,  0.04248109,  0.07709824,  0.071918  ])
       x: array([ -5.47581391e-02,   2.00109990e+07,   2.11915236e+01,
         6.61899661e+05,  -2.22193886e+07])
 message: 'The solution converged.'
    fjac: array([[-0.3207226 , -0.75566902,  0.53250215, -0.19842636, -0.05630082],
       [-0.02198464, -0.00102108,  0.06437769,  0.4629469 , -0.88377108],
       [-0.73103662,  0.31989562,  0.22322297,  0.48119372,  0.28614045],
       [-0.44804528,  0.39203066, -0.01871625, -0.71533847, -0.36538741],
       [ 0.40186388,  0.41586301,  0.81370645, -0.05523237,  0.01986423]])

x_calc: array([ 6.25753046,  2.99378609,  9.8221681 ])
x_target: array([ 6.31937831,  2.93663   ,  9.76062169])
t_calc: array([ 0.75316478, -0.59352174,  0.28368074])
t_target: array([ 0.40709037, -0.69479177,  0.59290963])

【问题讨论】：

标签： python scipy mathematical-optimization

【解决方案1】：

scipy.optimize.root 函数返回一个OptimizeResult 对象。

我很好奇，scipy.optimize.root 返回的 OptimizeResult 对象中的“success”、“status”和“message”字段的值是什么？

例如，消息可能是这样的：

'根据过去十次迭代的改进来衡量，迭代没有取得良好的进展。'

顺便说一下，看看minpack.py，看看你可能遇到的其他一些问题。

【讨论】：

据我所知，所有这些值都表明成功；我编写了检查success 标志的代码，据我所知，我只接受收敛的结果。我将进行另一项测试，以便进行更适当的事后分析。不过，我发布的代码中没有任何内容让我觉得还有其他事情是我没有看到的。
我已经发布了更多信息。曲线参数不是很“好”，但我怀疑它们应该是。
我开始想，也许我做了一个天真的选择xtol。我已将其设置为1e-6，其中_root_hybr 函数的默认值似乎是1.49012e-08。我通常不会认为它会有那么大的不同，但显然对于这个应用程序来说确实如此。

【解决方案2】：

对于这个问题，它确实是一个糟糕的容忍选择。

【讨论】：