为什么偶函数的谱只有实数？

Question

我指的是 Lyons 的 DSP 书的 $8.5 部分： [Understanding Digital Signal Processing, 2nd, Richard G. Lyons, 2005]

有一个online version。

这里是具体部分的截图：

我只是太笨了，无法从文本中得到函数的均匀度/奇异度与它们的频谱的纯实数/纯虚数之间的联系......

非常感谢，

/布鲁因

Answer 1

我读了一本书的解释，大致是这样说的：

1. 偶函数的FT也是偶数；奇函数的 FT 也是奇数。
2. 实函数的 FT 的实部是偶数；实函数的 FT 的虚部是奇数。

所以实偶函数f(x)的傅里叶变换F(ω)必须同时满足：

1. 因为 f(x) 是偶数：F(ω) 是偶数（对于实部和虚部）
2. 因为 f(x) 是实数：F(ω) 的实部是偶数，虚部是奇数

现在 F(ω) 的虚部既是偶数又是奇数，它必须为零，因此 F(ω) 是实数。

Answer 2

这是由于 Euler's formula 应用于所有 FT 基函数/向量，以及两个定义如何拟合两个三角恒等式：

对称或偶函数：

cos(x) = cos(-x)

反对称或奇函数：

sin(x) = -sin(-x)

对于所有 x。

还要注意，正弦和余弦函数是正交的，因此由一组组成的任何信号都将具有另一组的零内容。