统计函数 dnorm 失败

Question

我正在通过一个类问题来测试中心极限定理是否也适用于中位数。我已经编写了代码，据我所知，它工作得很好。但是我绘制正态分布的 dnorm stat 没有出现。当它应该创建钟形曲线时，它只会创建一条平坦的线。代码如下：

set.seed(14)
median_clt <- rnorm(1000, mean = 10, sd = 2)

many_sample_medians <- function(vec, n, reps) {
  rep_vec <- replicate(reps, sample(vec, n), simplify = "vector")
  median_vec <- apply(rep_vec, 2, median)
  return(median_vec)
}

median_clt_test <- many_sample_medians(median_clt, 500, 1000)

median_clt_test_df <- data.frame(median_clt_test)
bw_clt <- 2 * IQR(median_clt_test_df$median_clt_test) / length(median_clt_test_df$median_clt_test)^(1/3)
ggplot(median_clt_test_df, aes(x = median_clt_test)) + 
  geom_histogram(binwidth = bw_clt, aes(y = ..density..), fill = "hotpink1", col = "white") + 
  stat_function(fun = ~dnorm(.x, mean = 10, sd = 2), col = "darkorchid1", lwd = 2) +
  theme_classic()

据我所知，其余代码工作正常——只是没有正确绘制 dnorm stat 函数。完全相同的 stat 行以前对我有用，所以我不确定出了什么问题。

Answer 1

这条线不是很平；与直方图相比，它只是非常伸展。如果我们在 x 轴上缩小并在 y 轴上放大，我们可以更清楚地看到这一点：

ggplot(median_clt_test_df, aes(x = median_clt_test)) + 
  geom_histogram(binwidth = bw_clt, aes(y = ..density..),
                 fill = "hotpink1", col = "white") + 
  stat_function(fun = ~dnorm(.x, mean = 10, sd = 2),
                col = "darkorchid1", 
                lwd = 2) +
  xlim(c(5, 15)) +
  coord_cartesian(xlim = c(5, 15), ylim = c(0, 1)) +
  theme_classic()

但这是为什么呢？

这是因为您使用dnorm 绘制从中提取中位数的随机变量的分布，但您的直方图是中位数本身的样本。所以你正在绘制错误的dnorm 曲线。 sd应该不是随机变量的标准差，而是样本中位数的标准差：

ggplot(median_clt_test_df, aes(x = median_clt_test)) + 
  geom_histogram(binwidth = bw_clt, aes(y = ..density..),
                 fill = "hotpink1", col = "white") + 
  stat_function(fun = ~dnorm(.x, 
                             mean = mean(median_clt_test), 
                             sd = sd(median_clt_test)),
                col = "darkorchid1", 
                lwd = 2)
  theme_classic()

如果您愿意，可以使用平均值的理论标准误差，而不是中位数的测量标准差 - 这些将非常相似。

# Theoretical SEM
2/sqrt(500)
#> [1] 0.08944272

# SD of medians
sd(median_clt_test)
#> [1] 0.08850221