如何在 JULIA 中有效地构造以下形式的块矩阵？答案

【问题标题】：How do I efficiently construct a block matrix of the following form in JULIA?如何在 JULIA 中有效地构造以下形式的块矩阵？
【发布时间】：2021-12-07 20:58:49
【问题描述】：

所以我正在编写一个代码，该代码需要我构建一个大型矩阵 M 使用较小的“方形”矩阵 J 和 M，每个大小为 n x n，重复如下：

即具有 M 的尺寸，使得 M 沿对角线重复“L”次，J' 沿上部重复第二对角线和 J 在第二对角线下方。

请注意，我正在开发 Julia v 1.0.0，据我了解，与 Mathematica 不同，在 Julia 中没有直接分配块矩阵的方法。

我尝试使用 Kronecker 产品来解决我的问题：

 ????=Diagonal(ones(L)) #IDENTITY matrix of L x L size
 ????=kron(????,M)

这样做，我可以制作一个块对角矩阵 M，小矩阵 M 沿其对角线重复。但是现在如何根据需要将矩阵 J 和 J' 沿其第二条对角线放置？

【问题讨论】：

标签： matrix julia

【解决方案1】：

BlockArrays.jl（也许是BlockBandedMatrices.jl）应该是您正在寻找的，因为它使处理块矩阵结构非常方便。

一个例子（Stringss）：

julia> using BlockArrays

julia> M = fill("M", 2,2);

julia> J = fill("J", 2,2);

julia> B = BlockArray{String}(undef_blocks, [2,2], [2,2])
4×4 BlockArray{String,2,Array{String,2}}:
 #undef  #undef  │  #undef  #undef
 #undef  #undef  │  #undef  #undef
 ────────────────┼────────────────
 #undef  #undef  │  #undef  #undef
 #undef  #undef  │  #undef  #undef

julia> setblock!(B, M, 1,1);

julia> setblock!(B, M, 2,2);

julia> setblock!(B, J, 1,2);

julia> setblock!(B, J, 2,1);

julia> B
4×4 BlockArray{String,2,Array{String,2}}:
 "M"  "M"  │  "J"  "J"
 "M"  "M"  │  "J"  "J"
 ──────────┼──────────
 "J"  "J"  │  "M"  "M"
 "J"  "J"  │  "M"  "M"

有关更多信息，请查看包的documentation。

【讨论】：

如果你只想要矩阵，你也可以使用文字语法：[M J; J M]
我要构造的矩阵实际上是一个很大的矩阵，所以无法进行字面语法。然而，就像用户@crstnbr 所说，我也许可以使用 BlockArrays 包来构造一个函数来定义这样的矩阵。谢谢！

【解决方案2】：

您也可以在没有任何外部软件包的情况下执行此操作：

# assign stand-in values
L = 4;
n = 2;
M = reshape(1:n^2, (n, n));
J = -M;

# put together the larger matrix
μ = [zeros(Int64, n, n) for i in 1:L, j in 1:L];
μ[diagind(μ)] .= [M];
μ[diagind(μ, -1)] .= [J];
μ[diagind(μ, 1)] .= [J'];
bM = reduce(vcat, [reduce(hcat, μ[i, :]) for i in 1:L]);

那么最后的矩阵bM就是：

8×8 Array{Int64,2}:
  1   3  -1  -2   0   0   0   0
  2   4  -3  -4   0   0   0   0
 -1  -3   1   3  -1  -2   0   0
 -2  -4   2   4  -3  -4   0   0
  0   0  -1  -3   1   3  -1  -2
  0   0  -2  -4   2   4  -3  -4
  0   0   0   0  -1  -3   1   3
  0   0   0   0  -2  -4   2   4

不确定效率与其他答案相比如何，但至少知道它可以在没有太多复杂性的情况下完成。

【讨论】：

【解决方案3】：

Linear Algebra 包中的 Tridiagonal 函数提供了所需的结果。

示例：

dl = ones(5)
du = ones(5) * 2
d = ones(5 + 1) * 3

Tridiagonal(dl, d, du)

结果：

6×6 Tridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 3.0  2.0   ⋅    ⋅    ⋅    ⋅ 
 1.0  3.0  2.0   ⋅    ⋅    ⋅ 
  ⋅   1.0  3.0  2.0   ⋅    ⋅ 
  ⋅    ⋅   1.0  3.0  2.0   ⋅ 
  ⋅    ⋅    ⋅   1.0  3.0  2.0
  ⋅    ⋅    ⋅    ⋅   1.0  3.0

如果您正在寻找对称三对角矩阵，您可以使用同一包中的SymTridiagonal。

【讨论】：