帮助理解定积分答案

【问题标题】：Help understanding a definitive integral帮助理解定积分
【发布时间】：2010-09-06 00:40:43
【问题描述】：

我正在尝试使用 MATLAB 和 C# 将书中的函数转换为代码。

我首先尝试让函数在 MATLAB 中正常工作。

以下是说明：

变量是：

xt and m can be ignored.
zMax = Maximum Sensor Range (100)
zkt = Sensor Measurement (49)
zkt* = What sensor measurement should have been (50)
oHit = Std Deviation of my measurement (5)

我在 MATLAB 中编写了第一个公式 N(zkt;zkt*,oHit)，如下所示：

hitProbabilty = (1/sqrt( 2*pi * (oHit^2) ))...
                * exp(-0.5 * (((zkt- zktStar) ^ 2) / (oHit^2))  );

这给了我期望的高斯曲线。

我对下面的定积分有疑问，我不明白如何将其转换为实数，因为我从代码中得到了可怕的值，即：

func = @(x) hitProbabilty * zkt * x;
normaliser = quad(func, 0, max) ^ -1;  
hitProbabilty = normaliser * hitProbabilty;

有人可以帮我解决这个问题吗？它应该使我的曲线正常化，但它变得疯狂......（我正在为 zkt 0:1:100 这样做，其他一切都相同，并绘制它应该输出的概率。）

【问题讨论】：

标签： math matlab

【解决方案1】：

您应该使用 error function ERF（在基本 MATLAB 中可用）

EDIT1：

正如@Jim Brissom 提到的，累积分布函数（CDF）与误差函数的关系是：

normcdf(X) = (1 + erf(X/sqrt(2)) / 2 ,   where X~N(0,1)

注意NORMCDF 需要统计工具箱

EDIT2：

我认为看到 cmets 时会有一点困惑。上面只计算归一化因子，所以如果你想计算某个值范围内的最终概率，你应该这样做：

zMax = 100;                         %# Maximum Sensor Range
zktStar = 50;                       %# What sensor measurement should have been
oHit = 5;                           %# Std Deviation of my measurement

%# p(0<z<zMax) = p(z<zMax) - p(z<0)
ncdf = diff( normcdf([0 zMax], zktStar, oHit) );
normaliser = 1 ./ ncdf;

zkt = linspace(0,zMax,500);         %# Sensor Measurement, 500 values in [0,zMax]
hitProbabilty = normpdf(zkt, zktStar, oHit) * normaliser;

plot(zkt, hitProbabilty)
xlabel('z^k_t'), ylabel('P_{hit}(z^k_t)'), title('Measurement Probability')

【讨论】：

抱歉，我应该用错误函数替换我的代码的哪一部分？你的意思是不是计算规范化器？
我是否应该等到计算完所有 hitProbabilities，然后在该数组上执行 ERF？那么我是否将原始数组乘以 ERF 的输出？
n = 1 ./ (normcdf((zMax-zktStar)/oHit) - 0.5);总是给我值 2，对于所有值，0-100？ erf() 总是给我 2？
不是真的，试试：plot( 1 ./ (normcdf(([0:zMax]-zktStar)/oHit) - 0.5) )，你会看到一条曲线（Inf 在中间，因为我们除以零！）
它给了我一个非常奇怪的图形，就像一个向上的 L，但同时水平和垂直镜像。

【解决方案2】：

代码中的 N 就是众所周知的高斯或正态分布。我之所以提到这一点，是因为您在 Matlab 中重新实现了它，您似乎错过了这一点，因为它显然已经在 Matlab 中实现了。

积分正态分布将产生一个累积分布函数，可在 Matlab 中通过normcdf 获得正态分布。 ncdf可以写成erf，这大概就是Amro所说的吧。

使用 normcdf 避免手动集成。

【讨论】：

我明白了，所以在我的 100 个值的循环中，我应该在数组上使用，这给了我另一个数组。文章将法线乘以值，我应该这样做，还是功能为我做这个？ ——你的意思是我也可以重写我的高斯函数吗？我该怎么做呢？我不是真正的数学导向，只是迫不得已，原谅我的无知。
你不需要实现正态分布，至少在 Matlab 中是这样。但是，您必须在 C# 中执行此操作（除非您使用库，但这是另一回事）。至于归一化：一个累积分布函数 f(x) 表示一个随机变量位于区间 (-inf, x] 的概率，这与说随机变量小于或等于 x 基本相同。 normalcdf 已经包括积分部分，但不包括幂减一部分。这部分可能是指百分比点函数，它只是 cdf 的倒数。
我想我明白了，所以我可以将我的代码替换为：measurements = 0:1:100;实际距离 = 50； o命中 = 50； hitProbabilities = normpdf（测量值，实际距离，oHit）； normalizedProbabilities = edf(hitProbabilities);绘图（测量值，归一化概率，测量值，归一化概率）；
感谢指出指令中的高斯函数是标准的高斯函数，所以我不必在MATLAB和C#中重新编写！

【解决方案3】：

如果您仍然需要积分的结果。

来自 Mathematica。计算是

hitProbabilty[zkt_] := (1/Sqrt[2*Pi*oHit^2])*Exp[-0.5*(((zkt - zktStar)^2)/(oHit^2))];
Integrate[hitProbabilty[zkt], {zkt, 0, zMax}];

结果是（仅用于复制/粘贴）

((1.2533141373155001*oHit*zktStar*Erf[(0.7071067811865476*Sqrt[zktStar^2])/oHit])/
Sqrt[zktStar^2] + 
(1.2533141373155001*oHit*(zMax-zktStar)*Erf[(0.7071067811865476*Sqrt[(zMax-zktStar)^2])/oHit])/
   Sqrt[(zMax-zktStar)^2])/(2*oHit*Sqrt[2*Pi])

其中 Erf[] 是误差函数

HTH！

【讨论】：