这个排列函数如何工作（Scala）？

Question

我正在查看 Pavel 对 Project Euler 问题 24 的解决方案，但不能完全弄清楚这个函数是如何工作的 - 有人可以解释它在做什么吗？其目的是返回数字 0 到 9 的百万分之一字典排列。

def ps(s: String): Seq[String] = if(s.size == 1) Seq(s) else 
  s.flatMap(c => ps(s.filterNot(_ == c)).map(c +))

val r = ps("0123456789")(999999).toLong

我知道当输入字符串的长度为 1 时，该函数将该字符作为 Seq 返回，然后我认为它会附加到剩下的唯一另一个字符上，但我无法想象如何你到了那一点，或者为什么这会导致一个排列列表。

（我自己已经解决了这个问题，但是使用了permutations方法，这使它成为一个相当简单的1-liner，但希望能够理解上述内容。）

Answer 1

对于给定字符串 s 的每个字母 (flatMap(c => ...))，ps 通过排列剩余的字母 ps(s.filterNot(_ == c)) 并在此排列 (map(c +)) 前面添加所提取的字母来生成排列。对于单字母字符串的简单情况，它什么也不做 (if(s.size == 1) Seq(s))。

编辑：为什么会这样？

让我们从改组一个字母的字符串开始：

[a]
-> a   # done.

现在对于两个字母，我们将任务拆分为子任务。取出集合中的每个字符，将其放在第一个位置，然后排列其余的位置。

a [b]
-> b
b [a]
-> a

三个字母是一样的。获取每个字符并将其添加到剩余字母的每个子排列中。

a [b c]
-> b [c]
   -> c
-> c [b]
   -> b
b [a c]
-> a [c]
   -> c
-> c [a]
# ... and so on

所以，基本上最外层的函数保证每个字母到达第一个位置，第一个递归调用保证第二个位置相同，依此类推。

Answer 2

让我们用伪代码写出来：

for each letter in the string
  take that letter out
  find all permutations of what remains
  stick that letter on the front

因为它适用于字符串中的每个字母，所以这实际上是将每个字母依次移动到字符串的前面（这意味着第一个字母可以是存在的任何字母，这是你需要的置换）。由于它是递归工作的，因此余数就是所有剩余的排列。

注意这个算法假设所有的字母都是不同的（因为filterNot是用来移除选中的字母）； collections 库中的 permutations 方法不假设这一点。

Answer 3

与此无关，但您可能有兴趣知道您可以计算百万分之一的字典排列，而无需计算任何以前的排列。

这个想法很简单：对于N 数字，有N! 排列。这意味着 10 位可以产生 3628800 个排列，9 位可以产生 362880 个排列，依此类推。有了这些信息，我们可以计算出下表：

First digit    First Permutation    Last Permutatation
0              1                    362880
1              362881               725760
2              725761               1088640
3              1088641              1451520
4              1451521              1814400
5              1814401              2177280
6              2177281              2540160
7              2540161              2903040
8              2903041              3265920
9              3265921              3628800

所以第一个数字是 2，因为这是 1000000 的范围。或者，更简单地说，第一个数字是索引(1000000 - 1) / fat(9) 处的数字。所以你只需要递归地应用它：

def fat(n: Int) = (2 to n).foldLeft(1)(_*_)
def permN(digits: String, n: Int): String = if (digits.isEmpty) "" else {
    val permsPerDigit = fat(digits.length - 1)
    val index = (n - 1) / permsPerDigit
    val firstDigit = digits(index)
    val remainder = digits filterNot (firstDigit ==)
    firstDigit + permN(remainder, n - index * permsPerDigit)
}