如何将 Haskell 中的 fold 函数与其他数据类型一起使用

Question

对于如何为新数据类型创建折叠函数是否有一种通用的思维方式？

例如数据树的折叠函数为：

data Tree t = Leaf | Node t (Tree t) (Tree t)
              deriving (Eq,Ord,Show)

treeFold:: (a -> b -> b -> b) -> b -> Tree a -> b
treeFold f e Leaf = e
treeFold f e (Node x l r) = f x (treeFold f e l) (treeFold f e r)

例如，我将如何为以下数据创建折叠函数？

data Json a = Val a | Obj [(String, Json a)]

我知道该类型必须包含 2 个函数，一个用于 Val 和 Obj 的情况。创建折叠时我必须考虑什么？我希望我的问题是有道理的。我刚刚遇到许多不同的数据类型，要求为数据类型编写折叠函数，但我似乎没有找到模式。

Answer 1

正如 Willem Van Onsem 在（现已删除的）评论中指出的那样，您尝试实现的也称为 catamorphism。我在Does each type have a unique catamorphism? 上写了一些关于我想你可能称之为初学者的变质观点的文章。您可以非常机械地推导出类型的变质（或证明不存在）。如果您的类型有 N 个构造函数，则 fold 函数必须采用 N+1 个参数：您的类型的一个值，每个构造函数一个函数。每个这样的函数都接受其对应构造函数具有的每个字段的一个参数（或者，如果构造函数没有字段，则它接受一个普通值，您可以将其想象为 0 元函数），并返回任何类型的变态值返回。

文字比较复杂，所以我从上面链接的答案中复制相关代码，作为示例：

data X a b f = A Int b
             | B
             | C (f a) (X a b f)
             | D a

xCata :: (Int -> b -> r)
      -> r
      -> (f a -> r -> r)
      -> (a -> r)
      -> X a b f
      -> r
xCata a b c d v = case v of
  A i x -> a i x
  B -> b
  C f x -> c f (xCata a b c d x)
  D x -> d x

请注意，每个函数（a、b、c、d）在关联的构造函数中的每个字段都有一个参数。在大多数情况下，您只需使用构造函数的每个字段调用函数……但是 C 的情况是怎么回事？为什么我们不写c f x 而不是c f (xCata a b c d x)？这就是递归发生的地方：cata 的工作是递归遍历（折叠）由 ADT 表示的整个树，将每个 X a b f 值转换为 r 类型的结果。令人高兴的是，只有一种可能的方法来进行这种转换：调用 xCata 时使用与您开始时传递的相同函数集。

Answer 2

一般准则（对于在 ADT 上运行的所有函数，而不仅仅是折叠）将是“每个构造函数一个方程”：

data MyType = Constructor1 Int | Constructor2 Float | Constructor3

myFunc :: MyType -> Int
myFunc (Constructor1 x) = ...
myFunc (Constructor2 y) = ...
myFunc Constructor3     = ...

此外，实现折叠函数的最正确方法是为您的类型声明Foldable 的实例。