计算具有给定边界的数学公式的值范围

Question

美好的一天！

我正在使用 python v3.8，我想用（也给定的）边界计算给定公式的值范围（最小值和最大值），例如：

formula1: a * sqrt(b/c)

formula2: a^2 * b/1000 + 3 * (a+b)

formula3: (1/(2 * PI * (a * 1000) * (b * 1000)) * 10^12

..with a=[0,5], b=[10,20], c=[30,40]

我对 scipy、numpy、sympy 不太熟悉。我想知道是否有一种“简单”的方法来计算具有不同值的公式，将其写入数组并从中获取最小值/最大值？我在“写入数组并获得最小值/最大值”时遇到的问题是，给定的浮点数存在一些界限 [-100000, 100000]，这会产生太多的值。

我不需要达到最小值/最大值的信息，而只需要可以达到的最小值/最大值。

Answer 1

试试SymPy 求解器，他们有可以执行以下操作的求解集：

>>> solveset(Eq(x**2, 1), x)
{-1, 1}

Answer 2

象征性：

最大和最小点称为临界点。要找到一个临界点，您需要对每个变量（f'_a = df/da、f'_b = df/db、f'_c = df/dc）进行偏导，并求解所有变量都等于 0 的方程组。我们可以使用 @987654324 来做到这一点@。

import sympy as sp

a = sp.Symbol('a', real=True)
b = sp.Symbol('b', real=True)
c = sp.Symbol('c', real=True)

functions = [
    a * sp.sqrt(b / c),
    a**2 * b/1000 + 3*(a+b),
    10**6 / (2 * sp.pi * a * b),
]

for f in functions:
    f_a, f_b, f_c = f.diff(a), f.diff(b), f.diff(c)
    print(f"f(a, b, c) = {f}")
    print(f"f'_a(a, b, c) = {f_a} = 0")
    print(f"f'_b(a, b, c) = {f_b} = 0")
    print(f"f'_c(a, b, c) = {f_c} = 0")
    print("Critical points:", sp.solve([f_a, f_b, f_c], a, b, c))
    print()

如您所见，如果执行此代码，则没有临界点，因此实域中的任何这些函数都没有绝对最大值或最小值（虚域中的第二个方程有两个临界点） .

数值方法：

使用numpy 和pandas，我们可以创建一个包含所有可能组合的矩阵，然后应用我们的每个函数。最大值和最小值是每列的，它们在列之间不相关。正如预期的那样，a、b 和 c 列的最大值和最小值是范围的下限和上限。

import pandas as pd
from pandas.core.reshape.util import cartesian_product
import numpy as np


# Number of values per range
N = 21

# Functions
functions = [
    lambda row: row['a'] * np.sqrt(row['b'] / row['c']),
    lambda row: row['a']**2 * row['b']/1000 + 3*(row['a']+row['b']),
    lambda row: 10**6 / (2 * np.pi * row['a'] * row['b']),
]

# Lower and upper bounds
a_lower, a_upper = 0, 5
b_lower, b_upper = 10, 20
c_lower, c_upper = 30, 40


def min_max(col):
    return pd.Series(index=['min', 'max'], data=[col.min(), col.max()])


values = [
    np.linspace(a_lower, a_upper, N),
    np.linspace(b_lower, b_upper, N),
    np.linspace(c_lower, c_upper, N),
]

df = pd.DataFrame(cartesian_product(values), index=['a', 'b', 'c']).T
for i, f in enumerate(functions):
    df[f'f_{i + 1}'] = df.apply(f, axis=1)
print(df.apply(min_max))

输出：

       a     b     c       f_1   f_2          f_3
min  0.0  10.0  30.0  0.000000  30.0  1591.549431
max  5.0  20.0  40.0  4.082483  75.5          inf

N = 101 具有完全相同的输出（它需要一些处理，因为它必须计算公式 101^3 > 1M 次）