多个纬度/经度点的半径答案

【问题标题】：Radius of multiple latitude/longitude points多个纬度/经度点的半径
【发布时间】：2011-02-12 13:59:40
【问题描述】：

我有一个程序，它将一组经纬度点作为输入。我需要对该数组进行检查，以确保所有点都在某个半径内。因此，例如，我允许的最大半径是 100 英里。给定一个纬度/经度数组（来自 MySQL 数据库，可能是 10 个点，可能是 10000 个），我需要弄清楚它们是否都适合半径为 100 英里的圆。

对于如何处理这个问题有点困惑。任何帮助将不胜感激。

【问题讨论】：

找到任何给定点集的中心是我没有试图弄清楚的事情，但是一旦你这样做了，Haversine 公式将帮助你确定它们是否在半径范围内。
中心不会只有个别经纬度平均值的经纬度，还是我缺少一些球面几何的微妙之处？
中心称为重心。但是，这无济于事，因为这与包含所有点的最小圆的中心不同（想象一下右边有很多点，左边有一个 - 重心将在右边，但是圆的中心将在中间）
如上所述，您想做的事情可能与找到包含您的点的最小圆圈一样难。这是一个棘手的（虽然不是不可能的）问题。在这种情况下，我会重新检查原始要求，看看是否有可以计算出的替代事物足以解决真正的潜在问题。您可能不想浪费开发和 CPU 时间来解决一个精确的数学问题，而该问题本身只是对开始时仅含糊地指定的问题的近似。
@las3jrock: 同一纬度 45 度的两点的中心，正好在纬度 45 度以上。想想飞机的路径在墨卡托地图上投影时是如何“弯曲”的，即使它实际上是直线飞行。

标签： mysql ruby math geography

【解决方案1】：

找到the smallest circle containing all points，并将其半径与100进行比较。

【讨论】：

【解决方案2】：

对我来说，解决这个问题的最简单方法是将坐标转换为 (X,Y,Z)，然后找到沿球体的距离。

假设地球是一个半径为 R 的球体（完全不真实）...

X = R * cos(long) * cos(lat)

Y = R * sin(long) * cos(lat)

Z = R * sin(lat)

此时，您可以使用三空间勾股定理的扩展近似点之间的距离：

dist = sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2)

但要找到沿表面的实际距离，您需要知道两点与原点（地球中心）的夹角。

将您的位置表示为向量 V1 = (X1, Y1, Z1) 和 V2 = (X2, Y2, Z2)，角度为：

角度 = arcsin((V1 x V2) / (|V1||V2|))，其中 x 是叉积。

那么距离就是：

dist = (地球周长) * 角度 / (2 * pi)

当然，这并没有考虑到海拔变化或地球在赤道处更宽的事实。

很抱歉我没有用 LaTeX 写数学。

【讨论】：

【解决方案3】：

下面的答案涉及假设地球是一个完美的球体，这应该比将地球视为一个平面给出更准确的答案。

要计算一组纬度/经度点的半径，您必须首先确保您的一组点是“半球形的”，即。所有点都可以放入完美球体的任意一半。

查看 Gupta 和 Saluja 撰写的“高斯球上一些邻近问题的优化算法及其应用”一文中的第 3 节。我没有具体的链接，但我相信你可以在网上免费找到一份副本。这篇论文不足以实现解决方案。您还需要 Ha 和 Yoo 的“球面多边形最大相交的近似质心”中的附录 1。

我不会使用 Megiddo 的算法来进行半球度测试的线性规划部分。相反，请使用 Seidel 的算法来解决线性规划问题，该算法在 Raimund Seidel 的“Small-Dimensional Linear Programming and Convex Hulls Made Easy”中进行了描述。另请参阅 Kurt Mehlhorn 的“Seidel 的随机线性规划算法”和 Christer Ericson 的“实时碰撞检测”的第 9.4 节。

一旦您确定您的点是半球形的，请继续阅读 Gupta 和 Saluja 论文的第 4 部分。这部分展示了如何实际获得点的“最小封闭圆”。

要进行所需的二次规划，请参阅 N.D. Botkin 的论文“求解二次规划的随机算法”。 This tutorial 很有帮助，但论文使用 (1/2)x^T G x - g^T x，网络教程使用 (1/2)x^T H x + c^T x。一个添加术语，另一个减去，导致与符号相关的问题。 Also see this example 2D QP problem。提示：如果你使用 C++，Eigen 库非常好。

这种方法比上面的一些 2D 方法稍微复杂一点，但它应该比完全忽略地球曲率更准确。该方法还具有 O(n) 时间复杂度，可能是渐近最优的。

注意：上述方法可能无法很好地处理重复数据，因此您可能需要在找到最小的封闭圆之前检查重复的纬度/经度点。

【讨论】：

【解决方案4】：

查看this question 的答案。它提供了一种测量任意两个（纬度、经度）点之间距离的方法。然后使用smallest enclosing circle algorithm。

我怀疑在平面上找到一个最小的封闭圆可能已经够难了，因此为了消除处理经纬度和球面几何的微妙之处，您可能应该考虑将点映射到 XY 平面。这会引入一定程度的失真，但如果您的预期规模是 100 英里，您可能可以忍受。一旦您在 XY 平面上获得了一个圆及其中心，您就可以随时映射回地球并重新检查您的距离。

【讨论】：