生成所有可能的 3 连通图

Question

Tutte 和 Thomassen 有一个猜想（有限和无限图的平面性和对偶性，1979 年）这样说

可以得到一个3-连通图 通过连续添加一个轮子 边并将一个顶点一分为二 至少有度数的相邻顶点 三个这样的边缘连接它们 不包含在 3 个循环中。要是我们 应用更一般的拆分 操作（即，我们允许边缘 加入两个新顶点 包含在 3 个循环中），那么我们可以 从 K_4 开始，我们只需要 分裂操作，以 生成所有 3 连通图。

我正在尝试使用 iGraph 和 Python 来实现最后陈述的操作。

我想定义一个函数 splitVertex(g,v)，获取一个图 g 和一个顶点 v，然后让它以操作定义的所有可能方式拆分 v。然后我想要一个所有这些新图表的列表，我会在它们上做一些进一步的工作。

此时，我有以下函数创建两个新顶点x和y，这将是分割后新创建的顶点。

def splitVertex(g,v):
    numver = g.vcount()

    g.add_vertices(2)

   x = numver
    y = numver+1

    g.add_edges([(x,y)])

有人可以帮我用一个很好的方法来实现它吗？我知道这会产生大量数据，但没关系，我有足够的时间；）

编辑：当然，这必须以某种方式控制，因为 3 连通图的数量是无限的，但这不是这个问题所关心的。

Answer 1

您的拆分操作应该更复杂一些。您需要将所有用于连接到v 的边修改为连接到x 或y。

def splitVertex(g,v):
  numver = g.vcount()
  g.add_vertices(2)
  x = numver
  y = numver+1
  g.add_edges([(x,y)])

  neighbors = g.neighbors(v)
  g.delete_vertices([v])

  new_graphs = []
  for (neighbors_of_x, neighbors_of_y) in set_split(neighbors):
    if len(neighbors_of_x) < 2: continue
    if len(neighbors_of_y) < 2: continue
    g2 = g.copy()
    g2.add_edges(map(lambda neighbor_of_x: [neighbor_of_x, x], neighbors_of_x))
    g2.add_edges(map(lambda neighbor_of_y: [neighbor_of_y, y], neighbors_of_y))
    new_graphs.add(g2)
  return new_graphs

set_split 应该生成将neighbors 分成两组的所有可能方式。

然后您需要为v 生成所有可能的选择并将它们应用到每个图表。

您可能会得到很多同构图。我想有一个更好的方法来做这一切，我想不出它。

Answer 2

基于Keith's solution。这是完全未经测试的，但我想一般的想法是可以的。此版本生成拆分而不是一次返回所有拆分。

from itertools import chain, combinations

def powerset(iterable):
    "Returns all the possible subsets of the elements in a given iterable"
    s = list(iterable)
    return chain.from_iterable(combinations(s, r) for r in range(len(s)+1))

def partition(iterable):
    "Returns all the possible ways to partition a set into two subsets"
    s = set(iterable)
    for s1 in powerset(s):
        yield s1, s-s1

def split_vertex(graph, v1):
    # Note that you only need one extra vertex, you can use v for the other
    v2 = graph.vcount()
    graph.add_vertices(1)

    # Find the neighbors of v1
    neis = set(graph.neighbors(v1))

    # Delete all the edges incident on v1 - some of them will be re-added
    g.delete_edges(g.incident(v1))

    # Iterate over the powerset of neis to find all possible splits
    for set1, set2 in partition(neis):
        if len(set1) < 2 or len(set2) < 2:
            continue

        # Copy the original graph
        g2 = g.copy()

        # Add edges between v1 and members of set1
        g2.add_edges([(v1, v3) for v3 in set1])

        # Add edges between v2 and members of set2
        g2.add_edges([(v2, v3) for v3 in set2])

        # Return the result
        yield g2