如何将三对角矩阵创建为一维

Question

所以对于我的应用程序，我需要创建一个三对角矩阵。这对任何语言都很容易做到，循环遍历所有行和列，然后设置主对角线值、子对角线值和超对角线值。通常，这是在二维数组上执行的。

对于我的应用程序，我需要创建一个“三对角线”的一维数组。换句话说，就是：取 2d 三对角矩阵，然后把它变成 1d。我可以从 2d 开始，然后编写一些将 2d 数组转换为 1d 数组的函数。这个，我可以。我想知道我们是否可以直接进入一维“三对角线”？例如，假设 2D 数组是 10*10，那么我的 1D 数组将是 100 个元素长，那么我需要找出哪个索引是主对角线、超对角线和子对角线。

可以这样做吗？请告诉我，谢谢

Answer 1

也请考虑：

• @YvesDaoust 的回答，因为提出了更好的存储策略：不是存储三对角矩阵的所有元素，而是仅存储非零元素。如果值得的话，您可以编写派生类型来封装行为。

• @VladmirF 的回答，因为指针关联可能是比通过reshape 复制所有数组更好的方法（取决于您的用例），如果您只想在工作时为了方便而临时更改索引在数据上。

说了这么多，来看看我的回答吧。

• 填充三对角矩阵与构造任何矩阵没有什么不同。我认为这并不重要。请记住，Fortran 以 Column Major 顺序存储数组，基于 1 的索引。

• 如果存储是连续的，那么更改数据的形状很容易且显而易见。您可以建立pointer 关联或将其转移到具有reshape 的新变量。

• 提取主对角线、超对角线和子对角线也是一个小问题，只需对数组索引三元组进行简单操作即可完成。看：

  program tridiagonal
    implicit none
    integer, parameter :: n = 4
    integer :: A(n, n), B(n**2), main(n), sub(n-1), sup(n-1)
  
    A(1,:) = [1, 4, 0, 0]
    A(2,:) = [3, 4, 1, 0]
    A(3,:) = [0, 2, 3, 4]
    A(4,:) = [0, 0, 1, 3]
                              ! Remember, colum major
    B = reshape(A, shape(B))  ! 1, 3, 0, 0, 4, 4, 2, 0, 0, 1, 3, 1, 0, 0, 4, 3
  
    main = B(  1:n**2:n+1)    ! 1, 4, 3, 3
    sub  = B(  2:n**2:n+1)    ! 3, 2, 1
    sup  = B(n+1:n**2:n+1)    ! 4, 1, 4
  end
  

Answer 2

主对角线上的元素在索引 (i, i) 处，共有 n 个； (i, i-1) 和 (i, i+1) 处的上对角线和下对角线，共有 n-1 个（i 分别从 2 开始和 n-1 结束）。

一种选择是使用三个向量并将元素存储在这三个向量中相应索引 i 处。

您还可以将所有值打包到一个长度为 3n 的向量中（如果您想腾出空间，则为 3n-2）。将 n 或 2n 添加到索引中，具体取决于您要处理的对角线。对于元素 (i, j)，对角线的索引由 j-i+2 给出。

Answer 3

您可以使用二维数组指针查看一维数组。 Fortran：

  integer, target :: A(100)

  integer, pointer :: B(:,:)

  B(1:10,1:10) => A

  B = 0
  do i = 1, 10
    B(i,i) = 1
  end do

  print '(*(1x,g0))', A
end


> gfortran diag1d.f90 
> ./a.out 
 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

在 C++ 中，强制转换也很简单。