查找以原点为中心的半径为 R 且尺寸为 D 的球体内的整数点数答案

【问题标题】：Finding the number of integer points inside a sphere of radius R and dimension D centered at the Origin [duplicate]查找以原点为中心的半径为 R 且尺寸为 D 的球体内的整数点数
【发布时间】：2016-09-21 12:07:36
【问题描述】：

我正在编写一个计算机程序/算法来计算以原点为中心的半径为 R 和维度 D 的球体内的整数点数。本质上，如果我们有一个维度为 2（圆）和半径为 5 的球体，我正在确定不等式 X^2+Y^2 ≤ 25 的所有整数解。而不是计算每个可能的整数点，有没有一种有效的方法数点数？使用对称性？

【问题讨论】：

@Sean Cline：这个问题是关于计算球体内的所有个整数点，大致等于它的体积。我应该认为这更多的是（离散）数学问题。如果有一个聪明的分析 (O(1)) 公式，我不会感到惊讶。
为什么您需要与现有问题类似的新问题？如果需要，可以编辑旧问题，添加新想法和标签。

标签： c++ algorithm geometry computational-geometry number-theory

【解决方案1】：

假设维度是3，R是半径。对于 z = 0，可能的 x,y 坐标是半径为 R 的圆内的点，而对于任何 z，x,y 的坐标是半径为 sqrt(R * R - z * z) 的圆内的点； z 的可能值为 -r, .. 0, 1, .. r，其中 r 是小于 R 的最小整数。注意 z 和 -z 的计数相同。

当我们降到维度 1 时，我们在问我满足多少个整数 |i|

所以：

int ncip( int dim, double R)
{   
    int i;
    int r = (int)floor( R);
    if ( dim == 1)
    {   return 1 + 2*r; 
    }
    int n = ncip( dim-1, R); // last coord 0
    for( i=1; i<=r; ++i)
    {   n += 2*ncip( dim-1, sqrt( R*R - i*i)); // last coord +- i
    }
    return n;
}

【讨论】：

【解决方案2】：

好吧，使用对称性，您总是可以只计算正侧的所有整数解，然后反转分量。因此，如果是您的 Circle (D=2, R=5)，您只需找到
{ X,Y ∈ N: X²+Y² ≤ R }。然后创建组合 (X,Y)、(X,-Y)、(-X,Y)、(-X,-Y)
这样您就只有 (1/2)^D 个解决方案可以找到。

此外，您可以将半径为 R 的圆近似为半径为 R/√2 的正方形，因此可以自动添加小于或等于该值的所有整数组合。

【讨论】：