如何让计算更快？

Question

这是一个简短的代码，它计算所有平方数的总和（实际上不是平方和），直到 n，其中 n 可以达到 10 pow 20。

    long long res=0;
    long long sm=0;

    for (long long i = 1; res <=n; i=i+2)
    {
        res = (res+i);
        sm  = sm+(res*(n/res));

    }

我们如何让上面的代码运行得更快？在这里，对于非常大的 n，例如 10 pow 20，sm 的计算需要时间。

有什么方法可以加快sm的计算速度？

这里 res 计算所有平方数，例如 1,4,9,16,25....

假设 n=10，那么正方形是 1,4,9，然后根据上面的代码，sm 是 (1)(10/4)+(4)(10/4)+(9)(10 /9)=27。

1*10+4*2+9*1=27。

这里的除法是整数除法。

编辑1：

我需要计算上面代码中提到的sm。

这里sm 是求和（i² * floor(n/(i²))），其中 i=1 到 sqrt (n)

Answer 1

有什么方法可以加快sm的计算速度？

如果你注意到这种模式并应用一些数学知识，是的。

第一个完美正方形之后的下一个完美正方形（除n==0 之外的所有情况下都是1）将是ceil(sqrt(first number)) 的正方形。

换句话说，说第n个数字的平方根，对应于您的第一个数字将由pow(ceil(sqrt(L)), n)给出。

现在，请注意正方形之间的图案：0 1 4 9 16 25...
0 和 1 的差是 1
1 和 4 之间的差是 3
4 和 9 之间的差是 5
9 和 16 之间的差是 7
16 和 25 的差是 9，以此类推。

这清楚地表明两个完美正方形之间的差始终是奇数。

继续了解这些知识，您需要知道必须添加什么才能获得下一个数字，答案是(sqrt(square) * 2) + 1)。

即current_square + (sqrt(current_square)*2+1) = next_square。

例如，为了证明这个等式，考虑完美的平方 25。应用这个逻辑，下一个完美的平方将是 25 + (sqrt(25) * 2 + 1) = 36，这是正确的。这里 11 与 25 相加，这是一个奇数。

同样，如果您遵循这一趋势，您会发现所有这些数字都是奇数，相差 +2。要找到 2 的下一个平方，您需要将 (sqrt(2²)+1) = 5 添加到它 (4+5=9);要找到下一个正方形（即 3），您需要将 (sqrt(3²+1) = 7 添加到它 (9+7=16)。差异始终是 +2。

此外，对奇数求和或应用加法在计算上比执行乘法或求每个数的平方根要便宜，因此您的复杂性应该没问题。

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然后，执行以下操作：

• 收集第一个方块。 （理想情况下应该是 1，但如果未提及 n>0 条件，则将条件 if(n!=0) 应用于我的逻辑）
• 将下一个术语的差异分配为first_square*2+1。不过，您需要添加第一个方格，因为这不是下一个方格，而是下一个方格和当前方格之间的差异。像下面那样在循环中添加术语。
• 运行一个循环直到您需要的数字。在循环内的变量中收集(square*floor(n/square) 给出的所需总和。
• 按照我上面提到的方法，即将当前方格添加到next 项（当前方格与下一个方格之间的差）并将下一个方格增加 2。

上述逻辑的一个工作示例：

#include <iostream>
#include <cmath>
#define ll long long 
int main() 
{ 
    ll int n; 
    std::cin>>n;

   // Start from 1: (add case for 0 if input is not >0)
   // you can also start from any other square or define a range.
    ll int first = 1; 

   // Square it:
    ll int first_square = first * first; 

   // Find next square:
    ll int next = (first_square * 2) + 1; 

   // Initialize variable to collect your required sum:
    ll int sum = 0;
    ll int square = first_square;

    while ((square >= 0 && square <= n)) 
    {  
        sum += (square *floor(n/square));

        // Add the perfect square: 
        square += next; 

        // Next odd number to be added:
        next += 2;      
    }     
    std::cout<<sum;  
    return 0; 
} 

Answer 2

我们可以使用公式找到直到 n 的所有平方数的总和：

n * (n + 1) * (2*n + 1) / 6

long summation(long n) 
{ 
    return (n * (n + 1) *  
        (2 * n + 1)) / 6; 
}