为什么这个算法在有向无环图中找不到最长的路径？

Question

我尝试使用动态规划来解决这个问题。 dp[i] 存储在 i 处结束的最长路径。对于从 x 到 y 的每条边，我将 dp[y] 更新为 dp[y] 和 dp[x+1] 之间的最大值。

它适用于输入输出示例，但在判断时某些测试用例失败。还没有想到一个失败的测试用例。任何帮助将不胜感激。

N 是顶点数
M 是边数
x y 表示从 x 到 y 的一条边
输出应该是图中最长路径的长度。

• 样本输入
  无名
  x1 y1
  x2 y2
  x3 y3
  .
  .
  .
  输入 1
  4 5
  1 2
  1 3
  3 2
  2 4
  3 4
  输出 1
  3
  输入 2
  5 8
  5 3
  2 3
  2 4
  5 2
  5 1
  1 4
  4 3
  1 3
  输出 2
  3

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;


int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    int n,m;
    cin>>n>>m;

    vector<int> dp(n+1,0);
    //dp[i] denotes max length of path ending at node i
    int x,y;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>x>>y;
        dp[y]=max(dp[x]+1,dp[y]);
    }
    int ans=0;
    // for(int i=0;i<n+1;i++)
    //  cout<<i<< " : "<<dp[i]<<endl;
    for(int i=0;i<n+1;i++)
        ans=max(ans,dp[i]);
    cout<<ans<<endl;
}

Answer 1

这里的问题是，虽然您确实会处理每条边，但您处理它们的顺序并不能保证您会真正找到所需的路径。例如，考虑这个 DAG：

1 -> 2 -> 3

想象输入文件的边缘顺序如下：

2 3
1 2

最初，dp[1]、dp[2] 和 dp[3] 都为零。在看到第一行 dp[2] 设置为 1 之后，第二行 dp[1] 也设置为 1。但是，这些最终值是不正确的，因为 dp[2] 应该是 2。

失败的原因是您正在查看的 DP 解决方案仅在您访问拓扑排序中的边时才有效，在这种情况下，每次您看到从 x 到 y 的边时，您就知道您已经计算了在考虑更新 y 之前到 x 的最长路径的长度。

要解决此问题，请存储您读入的边，并按照节点的拓扑顺序访问边。您可以通过多种方式找到拓扑排序，我将把细节留给您。 :-)

希望这会有所帮助！