长字符串的 Rabin-Karp 的平均案例运行时间答案

【问题标题】：Average case runtime of Rabin-Karp for long strings长字符串的 Rabin-Karp 的平均案例运行时间
【发布时间】：2023-03-18 19:50:01
【问题描述】：

我无法理解为什么Rabin-Karp algorithm 的平均案例运行时间为 O(n+m)，其中 n 是输入字符串的长度，m 是模式字符串的长度。我的理解是所有 n 和 m 的运行时间应该是 O(n+m)，即使 n 和 m 非常大。

让我们的散列函数返回 1 到 k 之间的整数。那么在每个位置发生虚假碰撞的概率为 1/k，因此我们期望平均得到 O(n/k) 次虚假碰撞以及一个正确的哈希匹配（如果存在匹配）。因此，我们期望 O(1+n/k) 散列匹配。每次我们得到一个匹配，我们必须检查平均 O(m) 个字符，所以总平均运行时间是 O((1+n/k)*m)。

对于小的 n (n>k)，它是 O(n/km)=O(nm)。所以对于大的 n，平均运行时间复杂度是 O(nm)，这意味着理论上平均运行时间是 O(nm)，而不是 O(n+m)。但是当然，我们通常处于 n

如果我们试图绕过碰撞问题，通过在 n 变大时调整 k 以保持较低的碰撞率恒定，那么 k 将需要 O(n)。但是对于大的 n，算法仍然是 O(nm)，因为散列模式字符串需要 O(km)=O(n*m)。

我的问题是，这个分析的缺陷在哪里？理论上，Rabin-Karp 实际上是平均情况 O(n*m) 吗？我错过了什么？

【问题讨论】：

标签： algorithm time-complexity rabin-karp

【解决方案1】：

首先，您的分析不正确。散列的 size 是 log(k)，而不是 k。

其次，通常的假设是事物的大小适合固定数量的机器字，并且您可以在固定时间内对它们进行数学运算。

因为你需要k~n，hash也适合一个机器字，你可以在恒定时间内更新hash。

【讨论】：