试图找到 4 个点的贝塞尔曲线的长度

Question

我已经找到了大约 1000 个关于这个问题的答案，但没有一个我可以使用，因为我的曲线使用了 4 个控制点。

也就是说，我偶然发现了这个人here：

double BezierArcLength(point2d p1, point2d p2, point2d p3, point2d p4)
{
    point2d k1, k2, k3, k4;

    k1 = -p1 + 3*(p2 - p3) + p4;
    k2 = 3*(p1 + p3) - 6*p2;
    k3 = 3*(p2 - p1);
    k4 = p1;

    q1 = 9.0*(sqr(k1.x) + sqr(k1.y));
    q2 = 12.0*(k1.x*k2.x + k1.y*k2.y);
    q3 = 3.0*(k1.x*k3.x + k1.y*k3.y) + 4.0*(sqr(k2.x) + sqr(k2.y));
    q4 = 4.0*(k2.x*k3.x + k2.y*k3.y);
    q5 = sqr(k3.x) + sqr(k3.y);

    double result = Simpson(balf, 0, 1, 1024, 0.001);
    return result;
}

看起来这将是一个完美的解决方案，但开始的部分让我完全困惑：

k1 = -p1 + 3*(p2 - p3) + p4;
k2 = 3*(p1 + p3) - 6*p2;
k3 = 3*(p2 - p1);
k4 = p1;

我到底应该如何对二维对象进行加法、减法和乘法之类的操作（我假设 point2d 是像 {x: 0, y: 0} 这样的对象结构）？我觉得自己很愚蠢，但这是唯一让我无法真正实现这个怪物的事情。

FWIW，我正在使用这个方程来标准化实体在游戏中穿越曲线时的速度。如果您完全知道这样做的更好方法，我会全力以赴。

Answer 1

以下是匀速遍历三次贝塞尔曲线的方法

没有一个简单的公式可以沿三次贝塞尔曲线获得偶数长度段（即偶数弧长段）。所涉及的是计算沿曲线的许多点，然后使用插值将每个点“微调”为大致等距。

我可以让你接近那里，而无需获得数学博士学位。

首先使用通用公式计算曲线上从 t=0 到 t=1 的 x/y 点，其中 t=0 表示曲线的起点，t=1 表示曲线的终点。这是常用的公式：

// calc the x/y point at t interval
// t=0 at startPt, t=1 at endPt
var x=CubicN(t,startPt.x,controlPt1.x,controlPt2.x,endPt.x);
var y=CubicN(t,startPt.y,controlPt1.y,controlPt2.y,endPt.y);

// cubic helper formula at t interval
function CubicN(t, a,b,c,d) {
    var t2 = t * t;
    var t3 = t2 * t;
    return a + (-a * 3 + t * (3 * a - a * t)) * t
    + (3 * b + t * (-6 * b + b * 3 * t)) * t
    + (c * 3 - c * 3 * t) * t2
    + d * t3;
}

如果您计算出足够多的间隔，例如 100 个间隔（每个循环 t += .01），那么您将获得非常好的曲线近似值。

这意味着如果你用线连接这 100 个点，结果看起来很像三次贝塞尔曲线。

但你还没有完成！

上面计算的一系列x/y点彼此的弧距不均匀。

一些相邻点靠得很近，一些相邻点相距较远。

计算均匀分布的点：

1. 用线连接所有点（创建折线）。
2. 计算该折线的总距离 (T)。
3. 将 (T) 除以所需的统一段数，得到统一段长度 (SL)
4. 最后，从头到尾遍历折线，计算每个点与前一点的 (SL) 距离。

结果：您可以使用这些等距点来遍历您的曲线。

额外细化：这应该会导致您的贝塞尔路径在视觉上平滑移动。但是，如果您想要更多的平滑度，只需计算 100 多个点——更多点 == 更多平滑度。

Answer 2

二维对象或 Point2D 只是一个向量，Vector Arithmetic 在数学中是明确定义的。例如：

          k*(x,y) = (k*x, k*y)
           -(x,y) = (-1)*(x,y)
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2, y1+y2)

这些是计算k1、k2、k3 和k4 所需的所有公式