父亲，两个儿子，999幅画

Question

这是一个求职申请的问题： “一个父亲有两个儿子，999幅画。每幅画都有不同的价值：第一幅价值1，第二幅价值2，以此类推，直到最后一幅价值999。他想把他所有的画分成他的两幅。儿子，让每个儿子都得到平等的价值。999幅画有多少种方法？ 例子：如果父亲有 7 幅画，他可以通过给第一个儿子画 1,6 和 7 来公平分配它们。第二个儿子将得到 2,3,4 和 5。两者的总和值相等，14。如果有 7 幅画，父亲可以将它们公平地分成 4 种方式（其他 3 种此处未列出），因此解决方案为 4。 提示：这个数字可能很大，所以请将您的解决方案的最后 10 位数字和草图发送给我们。”

我所做的是尝试使用蛮力方法，通过编写一个 c# 程序来添加所有可能的组合，该程序编写它自己的 c# 程序，循环内有循环，如下所示：

StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (short i = 2; i <= 999; i++) //starts from 2 because 1 is always added to the total for one side
{
    sb.AppendLine("for (byte i" + i.ToString() + " = 0; i" + i.ToString() + " < 2; i" + i.ToString() + "++)");
    sb.AppendLine("{");
}

for (int i = 2; i <= 999; i++)
{
    sb.Append("if (i" + i.ToString() + " == 1) { total += " + i.ToString() + "; }\n");
}

for (short i = 2; i <= 999; i++)
{
    sb.AppendLine("}");
}

然后在结果中的 if 块之后添加：

if (total == 249750)
{
    count++; //count is a BigInteger
}
total = 1;

这种方法在技术上应该可行（在少量绘画上进行了测试），但问题是它是一个巨大的数字，在我的计算机上以这种方式计算结果需要大约一百万年......是否有一些数学技巧可以在合理的时间内做到这一点？

Answer 1

更容易解决更一般的问题，即确定第一个儿子可以通过多少种方式获得价值k，其中k 是一个参数。找出适当的概括是一门艺术。它在算法课程中以动态编程的名义教授。

让x 成为一个变量。所需的数学洞察力是，对于n 绘画，多项式乘积中x^k 的系数

x (1 + x^2) (1 + x^3) ... (1 + x^n)

inx是第一个儿子获得价值k的方式数量（包括价值1的绘画）。这是因为该产品分发给

(sum for i_2 = 0 to 1) (sum for i_3 = 0 to 1) ... (sum for i_n = 0 to 1)
    x^(1 + 2 i_2 + 3 i_3 + ... + n i_n),

这实际上是您的蛮力解决方案评估此产品的方式。这里的动态程序相当于将因子一个一个分配，而不是一次全部分配，例如，

x (1 + x^2) = x + x^3
x (1 + x^2) (1 + x^3) = (x + x^3) (1 + x^3)
                      = x + x^3 + x^4 + x^6.
x (1 + x^2) (1 + x^3) (1 + x^4) = (x + x^3 + x^4 + x^6) (1 + x^3)
                                = x + x^3 + x^4 + x^6 + x^4 + x^6 + x^7 + x^9
                                = x + x^3 + 2 x^4 + 2 x^6 + x^7 + x^9.

时间节省来自重复条款。我们已经只有​​六个项要处理，而不是八个（二的三次方）。

只保留最后十位数字意味着我们可以在整数环中以 10^10 为模来评估这个产品。因此，我们可以减少以该数字为模的中间系数，以避免求助于 bignums。这个技巧在竞争激烈的编程社区中广为人知，在抽象代数或数论课程中正式介绍过。

在Mathematica:

In[1]:= Coefficient[x Product[1+x^i,{i,2,7}],x^(Sum[i,{i,1,7}]/2)]

Out[1]= 4

In[2]:= Coefficient[x Product[1+x^i,{i,2,8}],x^(Sum[i,{i,1,8}]/2)]

Out[2]= 7

在 Java 中：

public class PartitionPaintings {
    public static void main(String[] args) {
        long[] p = new long[] {0, 1};
        for (int i = 2; i <= Integer.parseInt(args[0]); i++) {
            long[] q = new long[p.length + i];
            for (int k = 0; k <= p.length - 1; k++) {
                for (int j = 0; j <= 1; j++) {
                    q[k + i * j] = (q[k + i * j] + p[k]) % 10000000000L;
                }
            }
            p = q;
        }
        System.out.println(p[(p.length - 1) / 2]);
    }
}

Answer 2

这是一份数学工作。

你基本上是在寻找number partition，一个distinct parts。

所有画作的总价值是整数 1…999 的总和。 (n * (n+1)) / 2according to Gauss，所以我们得到：(999 * 1000) / 2 = 499500。所以每个儿子应该得到总价值249750的画。

现在，我们只需要找到该值的不同部分不超过 999 的分区数。我们将找到的每个分区分配为一个儿子的绘画集，第二个儿子将获得剩余的绘画 (总价值相同）。

所以唯一棘手的部分是找出不同部分和有界部分的分区函数。但我想你也可以通过编程方式来做到这一点。

来自德黑兰谢里夫科技大学的 Mohammadreza Bidar 实际上写了一篇论文，题目很有希望“将整数划分为不同的有界部分、标识和边界”。你可以在INTEGERS, volume 12阅读它（这是那里的第8篇文章）。