我正在解决一个几何约束优化问题。优化中的变量是一组向量的 x-y 分量。这些变量的目标函数是二次的。
但是，我需要约束向量子集的大小之和。
具体来说，假设这个子集包含 {v1,v2,...,vn}
我需要解决方案来满足
||v1|| + ||v2|| + .... + ||vn|| 如果它只是一个向量，我可以将两边平方以获得二次约束并将问题框定为 QCQP v1.x * v1.x + v1.y * v1.y
但是，我有多个向量。那么有什么方法可以表达约束，以便我可以应用比一般非线性约束优化更具体的技术？或者考虑到我的目标函数可以通过分析最小化，那么解决问题是否有意义
【问题讨论】：
标签： optimization vector geometry constraints mathematical-optimization
不确定您的优化问题中还有什么，但单独约束规范的任务是非线性的，但可以有效解决问题。
使用外部库，您可以像这样对其进行原型设计。这里使用cvxpy (python)。
有许多类似的库遵循相同的想法，例如：cvxopt (python)、picos (python)、yalmip (matlab)、convex.jl (julia)。官方的求解器 API 通常更底层，还有更多工作要做。中间还有 JuMP (julia)。
from cvxpy import *
L = 10.0
V = Variable(3,5) # 3 vectors
constraints = []
constraints.append(sum_entries(norm(V, axis=1)) <= L)
objective = Maximize(sum_entries(V))
prob = Problem(objective, constraints)
prob.solve()
print("status:", prob.status)
print("optimal value", prob.value)
print("optimal var", V.value)
print('constr: ', sum_entries(norm(V, axis=1).value))
输出：
status: optimal
optimal value 22.36067971461066
optimal var [[ 1.49071198 1.49071198 1.49071198 1.49071198 1.49071198]
[ 1.49071198 1.49071198 1.49071198 1.49071198 1.49071198]
[ 1.49071198 1.49071198 1.49071198 1.49071198 1.49071198]]
constr: sum_entries([[ 3.33333332]
[ 3.33333332]
[ 3.33333332]])
以上是自动转换的，所以SOCP-form 可以由商业求解器或开源求解器（如 ECOS 和 SCS）求解。
这个转换也向我们证明，这个问题是凸的（通过构造）！该方法称为Disciplined Convex Programming 。
根据您选择的库/软件，您必须手动进行此转换。当您引入一些辅助变量来收集向量的规范时，这应该不难。在 Gurobi 中，您只需要使用基本的 SOCP-constraint docs。
备注： ||v1|| + ||v2|| + .... + ||vn|| <=。其他一切都需要诡计（epsilon-values...）
编辑：
这是一个纯粹的 Gurobi 方法，它可以让您了解如何使用更多支持与 Gurobi API 类似功能的低级库来实现这一点（我正在考虑 Mosek 和 CPLEX，但对 API 了解不多；我认为 Mosek 完全不同）。
from gurobipy import *
import numpy as np
L = 10.0
# Model
m = Model("test")
# Vars
v = np.empty((3,5), dtype=object)
for i in range(3):
for j in range(5):
v[i, j] = m.addVar() # by default >= 0; it's just an example
norm_v = np.empty(3, dtype=object)
for i in range(3):
norm_v[i] = m.addVar() # aux-vars to collect norms
m.update() # make vars usable for posting constraints
# Constraints
for i in range(3):
m.addQConstr(np.dot(v[i, :], v[i, :]),
GRB.LESS_EQUAL, norm_v[i] * norm_v[i]) # this is the SOCP-constraint for our norm
m.addConstr(np.sum(norm_v) <= L) # gurobi-devs would propose using quicksum
# Objective
m.setObjective(np.sum(v), GRB.MAXIMIZE)
# Solve
m.optimize()
def get_val(x):
return x.X
get_val_func = np.vectorize(get_val)
print('optimal var: ', get_val_func(v))
输出：
Optimal objective 2.23606793e+01
optimal var: [[ 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195]
[ 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195]
[ 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195]]
【讨论】：