将多个（离散）操作合并为一个（连续）操作答案

【问题标题】：Folding multiple (discrete) operations into one (continuous) operation将多个（离散）操作合并为一个（连续）操作
【发布时间】：2013-05-10 06:13:04
【问题描述】：

举个简单的例子，假设我们要检查 char c 是否是字母数字：

if (48 <= c && c <= 57 ||
    65 <= c && c <= 90 ||
    97 <= c && c <= 122)
{
    // ...
}

6 个操作来确认它是。

但是，不存在连续函数 f(c) 使得 f(c) > 0 对于字母数字字节值，并且剩下的？我认为有至少有一个：12 次多项式，“适合”12 个点，在 x 轴上下摆动；但也许也存在一个更小次数的函数，甚至是非多项式。这样的公式将“简化”以下操作：

if (f(c) > 0)
{
    // ...
}

这有什么艺术术语吗？（想到了“折叠”这个词，但它不会产生任何相关的搜索结果——只有 Haskell 的折叠概念。）似乎只要我们能够将一组操作的codomain映射到一个粒度足够细的codomain，就可以得到这样的“折叠”。那么，我的问题是：“折叠”可以节省时间吗？或者是否有一些守恒原则迫使计算“折叠”的成本匹配（甚至超过）计算原始的“粗略”操作。

【问题讨论】：

这似乎是一个有趣的理论问题，但与上面的代码（应该非常快）或使用查找表之类的替代方案相比，你确定一个多项式甚至会更快？
@templatetypedef - 不，当然，在上面的例子中，查找表会快得多；但我从一个简单的案例开始，扩展到一个更一般的案例，即 codomain 中可能有无限（但可数）点（因此在查找表中不可枚举）。
这是错误。出于内部文档的目的，您应该使用诸如'0'、'9'、'A'、'Z'、'a' 和'z' 之类的字符常量。您是否希望我们阅读您的代码？那里发生了六个以上的操作。通过从左到右计算运算符，从左到右计算它们：<=&&<=||<=<=<=<=||<=@98765343338@9876534@9. C 不保证将使用 ASCII。相反，可以使用 EBCDIC，在这种情况下，此代码将失败！不要过早地优化，或者这样的代码！只需使用isupper、islower 和isdigit。
@undefinedbehaviour - 具有讽刺意味的是，我担心你过早地优化了你的 cmets ;-) 我很欣赏、尊重并完全同意你所说的话，但我实际上并不是在问字母数字的问题，C （我之所以这样标记它是因为我的示例是用 C 语言编写的）、缓存、编译器优化或分析。我的示例旨在阐明我遇到的一个理论问题。也许我不够清楚。
我仍然认为这些 cmets 对您的代码提出了一些好处，以及一些相关点：如果编译器生成代码以 fold 您的示例代码，那么这回答了您的一个问题。

标签： c math optimization discrete-mathematics

【解决方案1】：

多项式与 x 轴相交 6 次，即它有 6 个实根，因此 6 次多项式就足够了。

f(c) = -(c-48)*(c-57)*(c-65)*(c-90)*(c-97)*(c-122)

这当然会浪费时间，做 5 次乘法比 5 次逻辑运算慢得多。此外，&& 和 || 是短路的，因此您通常不需要全部进行。

【讨论】：

哇，感谢您找到多项式！有趣的。我不认为零点的交叉点就足够了（方向无法确定），但我绝对错了 12 点！但是好吧，显然多项式只会增加复杂性——但它们是微不足道的解决方案——我希望我知道这个的通用术语，以便我可以研究存在哪些方法可以更聪明地“折叠”（例如非多项式)。
您能否详细说明您是如何提出这个多项式的，并且知道它会在根之间上下振荡，而不是（例如，在根处接触 0，然后反射回同一半?)
这实际上是一个精彩而令人大开眼界的答案。它以一种我从未想过的方式解决了一个问题——这种方式可能会为我在未来为类似问题带来更好的解决方案。上面答案的形式也很优雅——准确地展示了它是如何工作的。我印象深刻。
@templatetypedef：只有重复的根（例如 (c - 10)^2）会触及 0 并反射回来。我认为这有一个数学理论。
好吧，可能不是那个例子，但我最初的断言是有多种方法来解决同一个问题是有效的。你永远不知道在各种机器上什么是“快”。

【解决方案2】：

在您的特定情况下，最佳形式是：

unsigned u = c;
if (u-48<10 || (u|32)-97<26)

当然，这并没有按照您希望的方式解决问题，而是相同的概念（即 (1) 将针对一个范围的两个比较转换为一个无符号减法和比较，以及 (2) 使用按位或组合多个长度相同且对齐方式匹配的范围检查）通常可以推广到其他情况。

【讨论】：

【解决方案3】：

函数isalnum() 不能满足您的需求是否有某些原因？别忘了#include <ctype.h>。

【讨论】：

这是一个很好的评论......但我不确定这是否是一个很好的答案。反正我喜欢+1。
不，对于被问到的理论数学问题，这是一个糟糕的答案。但是，这是一个程序员论坛。
啊，我的实际问题与字母数字无关。但好点；谢谢。我只是举了一个不好的例子。
@ElchononEdelson 你认为这个问题应该结束吗？
也许吧。我认为它属于不同的论坛，但我不能说是哪个。