图通常使用邻接矩阵来表示。各种来源表明可以避免初始化成本为 |V^2| （V 是顶点的数量）但我可能还没有弄清楚如何。
在 Java 中，只需声明矩阵，例如boolean adj [][]，运行时将自动使用 false 初始化数组，这将花费 O(V^2) 成本（数组的维度）。
我误解了吗？是否可以避免邻接矩阵初始化的二次成本，或者这只是依赖于实现语言的理论？
【问题讨论】：
标签： java algorithm optimization data-structures graph
这可以通过使用邻接矩阵的稀疏矩阵表示来实现，其中只分配“1”的位置，而不是矩阵的每个元素（可能包括大量的零）。你可能会发现this thread 也很有用
【讨论】：
矩阵值的默认初始化实际上是一个特性。如果不是默认初始化，难道你还需要自己初始化每个字段，以便知道它的值是什么？
邻接矩阵有这个缺点：它们在内存效率方面很差（它们需要 O(n2) 个内存单元），并且正如您所说，它们的初始化速度较慢。然而，初始化从未被认为是最大的问题。相信我，内存分配要慢得多，所需的内存比初始化时间要多得多。
在许多情况下，人们更喜欢使用邻接列表，而不是矩阵。这样的列表需要O(m) 内存，其中m 是图中的边数。这更有效，尤其是对于稀疏图。这个图表示比邻接矩阵差的唯一操作是查询is there edge between vertices i and j。矩阵在O(1) 时间内回答，列表肯定会慢很多。
然而，许多典型的图算法（如Dijkstra、Bellman-Ford、Prim、Tarjan、BFS 和DFS）只需要迭代给定顶点的所有邻居。如果您使用邻接表而不是矩阵，所有这些算法都会受益匪浅。
【讨论】：
memset 函数。
此线程中有很多混乱和错误信息。事实上，有一种方法可以避免邻接矩阵（以及一般的任何数组）的初始化成本。但是，无法将该方法与 Java 原语一起使用，因为它们在后台使用默认值进行了初始化。
假设您可以创建一个未自动初始化的数组data[0..n]。首先，它充满了以前记忆中的垃圾。如果我们不想花费 O(n) 时间覆盖它，我们需要一些方法来区分我们添加的好数据和垃圾数据。
“诀窍”是使用辅助堆栈来跟踪包含良好数据的单元格。第一次写入data[i] 时，我们将索引i 添加到堆栈中。由于堆栈只会随着我们添加而增长，因此它永远不会包含我们需要担心的任何垃圾。
现在每当我们访问data[k] 时，我们都可以通过扫描堆栈中的k 来检查它是否为垃圾。但是每次读取都需要 O(n) 时间，首先要打败数组的点！
为了解决这个问题，我们创建了另一个辅助数组stack_check[0..n]，它也开始充满垃圾。该数组包含指向堆栈中元素的指针。现在，当我们第一次写入data[i] 时，我们将i 压入堆栈并设置stack_check[i] 指向新的堆栈元素。
如果data[k] 是好的数据，那么stack_check[k] 指向一个包含k 的堆栈元素。如果data[k] 是垃圾，那么stack_check[k] 的垃圾值要么指向堆栈外，要么指向除k 之外的某个堆栈元素（因为从未将k 放入堆栈）。检查这个属性只需要 O(1) 时间，所以我们的数组访问仍然很快。
综合起来，我们可以在 O(1) 时间内创建我们的数组和辅助结构，让它们充满垃圾。在每次读取和写入时，我们使用我们的帮助器在 O(1) 时间内检查给定单元格是否包含垃圾。如果我们正在写垃圾，我们会更新我们的辅助结构以将单元格标记为有效数据。如果我们阅读垃圾，我们可以用任何适合给定问题的方式来处理它。例如，我们可以返回一个像 0 这样的默认值（现在你甚至不能说我们没有初始化它！）或者可能抛出一个异常。
【讨论】：
我会详细说明 A_A 的答案。他推荐使用稀疏矩阵，这基本上意味着您要重新维护邻接列表。
您有两个理由使用矩阵 - 如果您根本不关心性能并且喜欢它提供的简单代码，或者如果您确实关心性能但您的矩阵将相对完整（假设在为了这篇文章，至少 20% 已满）。
您显然确实关心性能。如果您的矩阵将是相对空的，那么它的初始化开销可能是有意义的，并且您最好使用邻接列表。如果它会很满，初始化变得可以忽略不计 - 您需要填充矩阵中的正确单元格（这将花费更多时间而不是初始化它），并且您需要处理它们（再次，这将花费更多时间初始化它）。
【讨论】：