加速 Levy 运动算法的仿真

Question

这是我模拟 Levy 运动的小脚本：

clear all;
clc; close all;
t = 0; T = 1000; I = T-t;
dT = T/I; t = 0:dT:T; tau = T/I;
alpha = 1.5;
sigma = dT^(1/alpha);
mu = 0; beta = 0;
N = 1000;
X = zeros(N, length(I));
for k=1:N
    L = zeros(1,I);
    for i = 1:I-1
       L( (i + 1) * tau ) = L(i*tau) + stable2( alpha, beta, sigma, mu, 1);
    end
    X(k,1:length(L)) = L;
end

q = 0.1:0.1:0.9;
quant = qlines2(X, q, t(1:length(X)), tau);
hold all
for i = 1:length(quant)
    plot( t, quant(i) * t.^(1/alpha), ':k' );
end

stable2 返回一个带有给定参数的stable random variable（在这种情况下，您可以用normrnd(mu, sigma) 替换它，这并不重要）； qlines2 返回绘图所需的分位数。

但我不想在这里谈论数学。我的问题是这个实现很慢，我想加快速度。不幸的是，计算机科学不是我的主要领域——我听说过一些关于记忆化、矢量化等方法的知识，还有很多其他技术，但我不知道如何使用它们。
例如，我很确定我应该以某种方式替换这个肮脏的双 for 循环，但我不确定该怎么做。
编辑：也许我应该使用（并学习......）另一种语言（Python、C、任何功能性语言）？我一直认为 Matlab/OCTAVE 是为数值计算而设计的，但如果改变，那是哪一个？

Answer 1

正如你所说，关键是for循环，Matlab不喜欢那些，所以 vectorization 确实是关键字。 （连同预分配空间。

我只是稍微改变了你的循环部分，这样你就不必一遍又一遍地重置L，而是将所有Ls 保存在一个更大的矩阵中（我也删除了length(L) 命令）。

L = zeros(N,I);
for k=1:N
    for i = 1:I-1
       L(k,(i + 1) * tau ) = L(k,i*tau) + normrnd(mu, sigma);
    end
    X(k,1:I) = L(k,1:I);
end

现在您已经可以看到循环中的X(k,1:I) = L(k,1:I); 已过时，这也意味着我们可以切换循环的顺序。这一点至关重要，因为i-steps 是递归的（取决于上一步），这意味着我们不能向量化这个循环，我们只能向量化k-loop。

现在你的原始代码在我的机器上需要 9.3 秒，新代码仍然需要大约相同的时间）

L = zeros(N,I);
for i = 1:I-1
    for k=1:N
       L(k,(i + 1) * tau ) = L(k,i*tau) + normrnd(mu, sigma);
    end
end
X = L;

但是现在我们可以应用矢量化，而不是循环遍历所有行（循环k），我们可以消除这个循环，并“一次”执行所有行。

L = zeros(N,I);
for i = 1:I-1
   L(:,(i + 1) * tau ) = L(:,i*tau) + normrnd(mu, sigma); %<- this is not yet what you want, see comment below
end
X = L;

这段代码在我的机器上只需要 0.045 秒。我希望你仍然得到相同的输出，因为我不知道你在计算什么，但我也希望你能看到你是如何进行矢量化代码的。

PS：我刚刚注意到我们现在在上一个示例中对整列使用相同的随机数，这显然不是您想要的。 Instad，您应该生成一个完整的随机数向量，例如：

L = zeros(N,I);
for i = 1:I-1
   L(:,(i + 1) * tau ) = L(:,i*tau) + normrnd(mu, sigma,N,1);
end
X = L;

PPS：好问题！