有没有一种有效的方法来确定叶节点是否可以从有向无环图中的另一个任意节点到达？答案

【问题标题】：Is there an effient way of determining whether a leaf node is reachable from another arbitrary node in a Directed Acyclic Graph?有没有一种有效的方法来确定叶节点是否可以从有向无环图中的另一个任意节点到达？
【发布时间】：2009-06-02 21:26:31
【问题描述】：

Wikipedia: Directed Acyclic Graph

不确定叶节点是否仍然是正确的术语，因为它不是真正的树（每个节点可以有多个子节点，也可以有多个父节点），而且我实际上正在尝试找到所有根节点（这实际上只是一个问题语义，如果你反转所有边的方向，它们将是叶节点）。

现在我们只是遍历整个图（可以从指定的节点访问），但这会变得有些昂贵，所以我想知道是否有更好的算法来执行此操作。我在想的一件事是我们跟踪已经访问过的节点（在遍历不同的路径时）并且不重新检查这些节点。

还有其他算法优化吗？

我们还考虑过保留一个该节点是其后代的根节点的列表，但是如果我们需要在每次添加节点时检查它是否会发生变化，那么维护这样一个列表似乎也会相当昂贵，移动或移除。

编辑：

这不仅仅是查找单个节点，而是查找作为端点的所有节点。

也没有节点的主列表。每个节点都有一个它的子节点和它的父节点的列表。（嗯，这并不完全正确，但提前从数据库中提取数百万个节点的成本非常高，并且可能会导致 OutOfMemory 异常）

编辑2：

可能会或可能不会更改可能的解决方案，但该图是最底层的，因为最多有几十个根节点（我正在尝试查找）和数百万（可能是数千万或数亿）叶节点（我从哪里开始）。

【问题讨论】：

一个 DAG 可以有叶节点。叶节点只是一个没有扇出的节点。

标签： algorithm optimization graph directed-acyclic-graphs

【解决方案1】：

有几种方法可能会更快，具体取决于您的结构，但通常您需要的是遍历。

深度优先搜索，遍历每条可能的路径，跟踪已经访问过的节点。这是一个递归函数，因为在每个节点上，您必须分支并尝试它的每个子节点。如果您不知道以哪种方式查找对象，则没有更快的方法，您只需尝试每种方式！你肯定需要跟踪你已经去过的地方，否则会很浪费。它应该要求按节点数量的顺序进行完全遍历。

广度优先搜索类似，但在“继续”之前会访问节点的每个子节点，因此会与所选根建立距离层。如果预计目的地靠近根节点，这可能会更快。如果预计它会一直沿着一条路径前进，那么它会更慢，因为它会迫使您遍历所有可能的边缘。

您可能保留一个已知根节点的列表是对的，但代价是您基本上必须在更改图形时进行搜索。如果您很少更改图表，这是可以接受的，但如果您更改图表的频率超过了生成此信息所需的频率，那么成本当然太高了。

编辑：信息更新。听起来我们实际上是在寻找两个任意节点之间的路径，根/叶语义不断切换。 DepthFirstSearch (DFS) 从一个节点开始，然后对每个未访问的子节点进行递归。如果找到目标节点，则中断。由于递归评估的方式，这将一直沿着“左”路径遍历，然后在到达“右”路径之前枚举该距离处的节点。如果目标节点可能是右边的第一个子节点，那么这是耗时且低效的。广度优先一步一步走，在继续前行之前覆盖所有孩子。因为您的图表像树一样底部很重，所以两者的执行时间大致相同。

当图表底部很重时，您可能会对反向遍历感兴趣。从目标节点开始往上走，因为这个方向的节点相对较少。只要节点的父节点通常比子节点多，这个方向就会快得多。你也可以结合这些方法，一个上一个下一个，然后比较节点列表，然后在中间的某个地方会面。（如果您忽略每一步完成两倍的工作，这种组合可能看起来最快）。

但是，由于您说您的图表存储为子列表列表，因此您没有真正的方法可以向后遍历图表。一个节点不知道它的父节点是什么。这是个问题。要修复它，您必须通过在图形更新中添加该数据或通过创建整个结构的副本（您所说的太大）来让节点知道它的父节点是什么。它将需要重写整个结构，这听起来可能是不可能的，因为此时它是一个大型数据库。有很多工作要做。 http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_(data_structure)

【讨论】：

好吧，我们需要阅读这个信息的频率大约是图表变化的 3 倍（非常粗略的猜测），但是由于我刚刚编辑，图表的底部更重，我正在寻找节点在顶部。
这越来越复杂了。你是从叶子开始寻找根，还是从根开始寻找叶子？程序会有所不同，你问过两者……我们是在寻找两个任意节点之间的路径吗？这可能是一个更清晰的解决方案。
对不起，我从任意节点开始寻找所有根（不关心路径）
他们的关键点是我不是在寻找一个特定的节点，而是在寻找可以从指定节点。除了对节点的子节点和节点父节点的对象引用之外，我没有任何节点的信息。
（图中没有任何其他节点的信息）

【解决方案2】：

只为访问过的节点着色（跟踪）。

Python 示例：

def reachable(nodes, edges, start, end):
  color = {}
  for n in nodes:
    color[n] = False
  q = [start]
  while q:
    n = q.pop()
    if color[n]:
      continue
    color[n] = True
    for adj in edges[n]:
      q.append(adj)
  return color[end]

【讨论】：

+1 因为在给定信息的情况下这会起作用，但是这些节点是我们的业务对象，我们需要在完成所有节点后取消它们的颜色。我已经提到过跟踪已经访问过的节点
包含颜色数据的结构不需要是那些业务对象的一部分。为每个算法保留额外的数据会很麻烦（而且不是线程安全的）。将这些对象简单映射到布尔值（如上例中的 dict）就足够了。
好点。另一件事是，正如我在编辑中提到的（不确定你是否看到它）我没有所有节点和边的列表，我有一个节点，每个节点都有一个我需要的父节点列表递归遍历。我猜这只是传递“颜色”列表的问题。

【解决方案3】：

对于一个顶点x，你要计算一个位数组f(x)，每个位对应一个根顶点Ri，1(resp 0)表示“x可以(resp不能)从根顶点Ri到达.

您可以将图形划分为一个“上”集合 U，其中包含所有目标根 R，如果 x 在 U 中，则 x 的所有父级都在 U 中。例如，距离

保持U不要太大，并为U的每个顶点x预先计算f。

然后，对于查询顶点 y：如果 y 在 U 中，则您已经有了结果。否则，递归地对 y 的所有父节点执行查询，为每个访问的顶点 x 缓存值 f(x)（例如在地图中），因此您不会计算两次值。 f(y) 的值是其父值的按位或。

【讨论】：