Cpp 如何在计算中处理大数？

Question

我有一个代码尝试使用梯形规则的方法以数值方式求解给定区间内的函数积分（参见Trapezoid method 中的公式），现在，对于区间中的函数 sin(x) [-pi/2.0,pi/2.0]，等待积分为零。

在这种情况下，我将分区数 'n' 设为 4。问题是，当我有 20 位小数的 pi 时，它是零，有 14 位小数时它是 8.72e^(-17)，那么小数点后 11 位为零，小数点后 8 位为 8.72e^(-17)，小数点后 3 位为零。我的意思是，对于 pi 的不同近似值，积分为零或接近零的数字，但没有明显的趋势。

感谢您帮助理解为什么会发生这种情况。 （我确实在 Dev-C++ 中运行过）。

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
#define pi 3.14159265358979323846
//Pi: 3.14159265358979323846
double func(double x){
    return sin(x);
    }

int main() {
    double x0 = -pi/2.0, xf = pi/2.0;
    int n = 4;
    double delta_x = (xf-x0)/(n*1.0);
    double sum = (func(x0)+func(xf))/2.0;
    
    double integral;
    
    for (int k = 1; k<n; k++){      
       // cout<<"func: "<<func(x0+(k*delta_x))<<" "<<"last sum: "<<sum<<endl;
        sum = sum + func(x0+(k*delta_x));     
       // cout<<"func + last sum= "<<sum<<endl;
    }
    integral = delta_x*sum;
    cout<<"The value for the integral is: "<<integral<<endl; 
    return 0;
}

Answer 1

OP 正在将 y=sin(x) 从 -a 集成到 +a。各种测试使用不同的a 值，均接近 pi/2。

该方法使用接近 -1.0 的值的线性求和，下降到 0，然后上升到接近 1.0。

此总和对最后一项的计算误差很敏感，因为最终的数学总和预计为 0.0。由于开始/结束a 不同，因此错误也不同。

首先添加极端的f = sin(f(k)) 值会得到更稳定的结果。例如sum += sin(f(k=1))，然后是 sum += sin(f(k=3))，然后是 sum += sin(f(k=2))，而不是 k=1,2,3。特别是术语x=f(k=3) 的形成可能与其早期的x=f(k=1) 术语的负值有些不同，这进一步加剧了问题。

欢迎来到世界或数值分析。

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如果代码使用全部float 或全部long double，则存在问题，只是程度不同。

问题不是由于使用了不精确的 pi 值（对于 FP，精确值是不可能的，因为 pi 是无理数，所有有限 FP 都是有理数）。

很大程度上是由于x 的形成。可以尝试以下方法以形成x 对称约 0.0。比较完全x 以这种方式生成，x 以原始方式生成。

x = (x0-x1)/2 + ((k - n/2)*delta_x)

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打印出计算出的准确值以便更深入地理解。

printf("x:%a y:%a\n", x0+(k*delta_x), func(x0+(k*delta_x)));