非确定性如何用 List monad 建模？答案

【问题标题】：How can non-determinism be modeled with a List monad?非确定性如何用 List monad 建模？
【发布时间】：2014-01-05 11:52:42
【问题描述】：

谁能解释（用简单的英语例子更好）列表单子可以做什么来模拟非确定性计算？即问题是什么以及列表单子可以提供什么解决方案。

【问题讨论】：

这里有很好的答案。添加一些我认为sequence 就是一个很好的例子。例如，sequence ["cbs","ae","tb"] 会为您提供从每个元素中选择一个字母来组成单词的所有方法。

标签： haskell f# functional-programming monads non-deterministic

【解决方案1】：

当我们说它是非确定性时，它意味着它有多个值。

Learn You A Haskell 这本书很好地解释了这一点：

像 5 这样的值是确定性的。它只有一个结果，我们知道究竟是什么。另一方面，像 [3,8,9] 这样的值包含多个结果，因此我们可以将其视为一个实际上是多个的值同时价值观。使用列表作为应用函子展示这种不确定性很好：

ghci> (*) <$> [1,2,3] <*> [10,100,1000]  
[10,100,1000,20,200,2000,30,300,3000]

从左到右相乘的所有可能组合具有来自右列表的元素的列表包含在结果中列表。在处理非确定性时，有很多选择我们可以制作，所以我们只是尝试所有这些，结果是非确定性的值也是如此，只是它有更多的结果。

很好地列出 monad 模型的非确定性。它的实例是这样的：

instance Monad [] where  
    return x = [x]  
    xs >>= f = concat (map f xs)  
    fail _ = []

因此，当您输入一个非确定性值时，它将产生另一组非确定性值：

ghci> [3,4,5] >>= \x -> [x, x * 2]
[3,6,4,8,5,10]

【讨论】：

【解决方案2】：

这是一个基于抛硬币的示例。问题如下：

您有两个硬币，分别标记为 Biased 和 Fair。 Biased 硬币有两个正面，Fair 硬币有一个正面和一个反面。随机选择其中一枚硬币，将其抛掷并观察结果。如果结果是正面，您选择偏向硬币的概率是多少？

我们可以在 Haskell 中进行如下建模。首先，您需要硬币的类型和它们的面孔

data CoinType = Fair | Biased deriving (Show)

data Coin = Head | Tail deriving (Eq,Show)

我们知道投掷公平硬币可能会出现Head 或Tail，而有偏见的硬币总是出现Head。我们使用一系列可能的替代方案对此进行建模（隐含地，每种可能性都具有相同的可能性）。

toss Fair   = [Head, Tail]
toss Biased = [Head, Head]

我们还需要一个随机挑选公平或有偏见硬币的函数

pick = [Fair, Biased]

然后我们像这样把它们放在一起

experiment = do
  coin   <- pick         -- Pick a coin at random
  result <- toss coin    -- Toss it, to get a result
  guard (result == Head) -- We only care about results that come up Heads
  return coin            -- Return which coin was used in this case

请注意，虽然代码看起来像是我们只是运行了一次实验，但 list monad 正在建模非确定性，并且实际上遵循所有可能的路径。因此结果是

>> experiment
[Biased, Biased, Fair]

因为所有可能性的可能性都相同，我们可以得出结论，我们有 2/3 的机会得到有偏见的硬币，只有 1/3 的机会得到公平的硬币。

【讨论】：

下一个来这里的人可以留言说你来自哪里吗？我很想知道为什么一年后这个答案突然开始获得大量支持！
我正在 Haskell 上上 edx 的课程，并尝试了解 monad。我是通过谷歌搜索被带到这里的。
@ChrisTaylor 最近从这里链接到：stackoverflow.com/q/29886852/1463507。还是不错的答案！
这与 PROMELA 中的模型检查有何可比性？当有很多状态时，它会像 SPIN 一样高效吗？ GHC 会以此为基础构建 Büchi 自动机吗？
@JanusTroelsen GHC 将构建一个列表，其中包含所有可能的输出，包括重复输出。由于这个原因，它通常效率很低（例如，它无法将具有相同结果的多条路径折叠成一条路径）。有一些基于集合或关联数组（映射）的分布建模方法可以有效地折叠等效状态，但您通常需要非常小心，以免意外爆炸状态空间。目前，在这项任务上，面向概率的语言比 Haskell 等通用语言具有优势。

【解决方案3】：

list monad 可以表示“来自非确定性计算的所有可能结果”。比如函数

f x = [x, x + 1, x + 2]

可以解释为采用x 并返回x、x+1 和x+2 之一的非确定性计算。

功能

g x = [2 * x, 3 * x]

可以解释为采用x 并返回2 * x 或3 * x 的非确定性计算。这两个非确定性计算的“组合”应该是另一个非确定性计算，它采用x，将其转换为x、x + 1 或x + 2 之一，然后将其加倍或加倍.因此，就列表而言，结果应该是所有六种可能性的列表

现在

g =<< f x = [2 * x, 3 * x, 2 * (x + 1), 3 * (x + 1), 2 * (x + 2), 3 * (x + 2)]

因此，这确实像我们预期的那样模拟了非确定性。

（将列表用于非确定性有一些尴尬，因为它们也有元素的顺序。“set monad”可能是模拟非确定性的更自然的方式。列表当然包含足够的信息来模拟非确定性，但排序意味着我们有更多信息而不是必要的。）

编辑：事实上，我所写的只是使用列表应用实例。为了获得充分利用单子接口的东西，您需要一个返回许多取决于其输入的结果的计算，例如

g 0 = [1000, 1001]
g x = [2 * x, 3 * x, 4 * x]

虽然这是一个完全武断且毫无动机的例子！

【讨论】：

【解决方案4】：

因此，在这里明确定义“非确定性”的含义很重要，因为它与在非确定性算法中的理解方式并不完全相同。这里捕捉到的意义是计算分支 - 系统可以在任何特定点移动到多个状态。

列表对此进行建模，因为简单地说，它们包含多个元素。更重要的是，一元推导为我们提供了一种组合非确定性结果的方法——即一次对所有分支进行建模。

【讨论】：