去除共线点的变换答案

【问题标题】：Transformation to get rid of collinear points去除共线点的变换
【发布时间】：2010-06-01 04:25:37
【问题描述】：

我正在编写一个程序来解决几何问题。

我的算法没有很好地处理共线点。

我可以对这些点应用任何变换以消除共线性吗？

【问题讨论】：

这完全取决于问题...消除共线性的一种方法是简单地向每个点添加一些噪声，即 (x, y, z) ↦ (x + 0.01*(random() - 0.5), y + 0.01*(random() - 0.5), z + 0.01(random() - 0.5)) 如果 random() 返回一个随机实数 [0, 1[.
你想要一个移除（几乎）共线点的变换，还是你想要所有点被变换成它们更少的方式共线？
我想保留所有要点，但我希望它们不那么共线

【解决方案1】：

然后我认为噪音实际上可能是解决方案。正如我在上面的评论中所写的那样

消除共线性的一种方法是只是为了给每个人添加一些噪音点，即 (x, y, z) ↦ (x + 如果 random() 在 [0, 1[.

【讨论】：

您始终可以在 4 个维度上工作并沿第 4 轴添加噪声。对于某些算法，这将解决投影回 3 维后几乎没有可察觉变化的问题。但不知道最初的问题是什么，谁知道这是否合适。

【解决方案2】：

如果您正在处理大量点集，则向每个集添加噪声可能会在一个集中解决问题，但在另一个集中创建它。

如果是这种情况，您可以在应用噪声之前测试共线性。

共线性条件为：

       x1  y1  1
  det  x2  y2  1  = 0
       x3  y3  1

【讨论】：

计算行列式很慢。更好的测试是形成两个平移向量 v1 := (x3, y3) - (x2, y2) 和 v2 := (x2, y2) - (x1, y1) 并测试它们是否平行，即如果 v1 = ķ v2。 v1 和 v2 是并行的当且仅当 (v1, v2) = |v1| |v2|。
@Andreas 行列式在一般情况下很慢。在这里，您只需要 5 次求和和 3 次乘法。您的建议涉及（我可能是错的）4 加一除一乘...没有太大不同！ :)
@belisarius：不，我意识到五分钟后，评论是只读的。但我认为我的方法更容易实现，至少在 OP 对行列式不太熟悉的情况下。
还有一个选择是，当且仅当三个点共线时，等式在应用于两个平移向量的三角形不等式中成立。
看来四和二乘一比较是最经济的 (y2-y3) (x1-x3) = (y1-y3) (x2-x3) 几何解释是两条直线从一点到另一点的斜率相等