找到一组不重叠的子集

Question

我正在为即将举行的编程竞赛进行复习，并且正在解决以下问题：

给定一个整数列表、一个整数 t、一个整数 r 和一个整数 p，确定该列表是否包含 t 个 3 组、r 个 3 组和 p 对数字。对于这些子集中的每一个，数字必须是相邻的，并且任何给定的数字只能存在于一个子集中（如果有的话）。

目前，我通过简单地查找所有 3 个、3 个运行和对的集合来解决问题，然后检查所有排列，直到找到一个没有重叠子集的排列。但是，这似乎效率低下，我想知道是否有更好的解决方案。

这里有两个问题的例子：

{1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 1, 0}, t = 1, r = 1, p = 2。
这是有效的，因为我们有三元组 {4 4 4}、运行 {1 2 3} 以及对 {1 1} 和 {5 5}

{1, 1, 1, 2, 3, 3}, t = 1, r = 1, p = 1
这不起作用，因为唯一的三元组是 {1 1 1} 并且唯一的运行是 {1 2 3} 并且两者重叠（它们共享一个 1）。

我正在寻找一种更有效的方法来解决这个问题。

Answer 1

可能有更快的方法，但您可以使用动态编程来解决这个问题。计算一个递归函数 F(t,r,p,n)，它决定在从位置 1 开始到 n 结束的序列中是否可能有 t 个三元组、r 个运行和 p 对，并存储如果可能，解决方案在位置 n 结束。如果您可以在位置 n 处有一个三元组、运行或对，那么您也有一个递归情况。 F(t-1,r,p,n-3) 或 F(t,r-1,p,n-3) 或 F(t,r,p-1,n-2)，你有最后一个子集存储，否则你有一个递归案例 F(t,r,p,n-1)。这看起来像四次方复杂度，但实际上并非如此，因为 n 的值总是在减小，所以复杂度实际上是 O(n + TRP)，其中 T 是所需的三元组总数，R 是所需的总数运行，P 是所需的总对数。所以最坏的情况是 O(n^3)。