将集合与集合集合进行比较的最佳算法

Question

在作为特定集合子集的有限集合中找到集合的最佳算法是什么？

例如，如果

A = {1, 2}
B = {2, 3, 4}
C = {3, 5}
D = {6}

和 X = {1, 2, 3, 5}

那么，A 和 C 是 X 的子集。

有没有一种算法可以在线性时间复杂度上做到这一点？

实现说明：集合的成员通常来自非常有限的范围，因此，使用 C++ bitset 来实现算法可能是一个好主意。不能吗？

编辑：集合中的集合数通常非常大于 X 中的元素数（在示例中）。有没有办法根据 X 中的元素数量来做到这一点？可能使用哈希什么的？

Answer 1

让我们暂时假设有 64 个可能的元素。

那么，如果将每个元素表示为一个位，则可以使用一个 64 位长的整数来表示每个集合，那么：a & b 就是a 和b 的set intersection。
如果（且仅当）a 是 b 的子集，则 a & b == a。

当然，如果您需要超过 64 位，您可以使用 bitset。

对于大范围的元素，可以使用哈希表存储（一次）超集，然后迭代潜在的子集以检查是否所有元素都在其中。
它在输入大小上是线性的（平均情况）。

---

编辑：（回复已编辑的问题）

除非你预先存储了一些关于数据的信息——否则O(|X| + n*min{m,|X|})无法做到|X|是集合 X 的大小，n 是集合的数量，m 是集合的平均大小。
这样做的原因是因为在最坏的情况下，您需要读取所有集合中的所有元素（因为您为每个集合读取的最后一个元素决定它是否是子集），因此如果没有先前的关于集合的知识。

建议的解决方案是：
位组：O(|X|*n)
哈希解：O(|X| + min{m,|X|}*n)（平均情况）

虽然散列解决方案提供了更好的渐近复杂度，但对于 bitset，常量要好得多，因此对于小的 |X|，bitset 解决方案可能会更快

Answer 2

如果您没有时间限制构建一些额外的结构，O(log(n)) 的解决方案是将代表个体集的位序列存储在 Trie 中。

您不必像 Amit 所假设的那样将您的集合（也称为位串）与所有其他集合进行比较。如果您有一个排序的位串集合，那么每次比较显然会将变体的数量减少一半。是的，当然，构建 bitset trie 的时间大约是 O(n*log(n))，但它是一个预处理。