如何在伽罗瓦域中进行多项式减法和除法答案

【问题标题】：How to perform polynomial subtraction and division in galois field如何在伽罗瓦域中进行多项式减法和除法
【发布时间】：2020-02-20 16:21:51
【问题描述】：

在我的加密课程中，我得到了两个多项式，紧凑形式和一个不可约多项式，并被要求在 GF(2^8) 中执行 4 个基本算术运算。完成了加法和乘法，我现在想知道如何处理减法和除法。为方便起见，我们假设输入按位顺序始终为 8 位

1st bit sequence: 11001100
2nd bit sequence: 11110000
irreducible polynomial(fixed): x^8 + x^4 + x^3 + x^1

如何执行减法/除法？

【问题讨论】：

记住：“减法”和“除法”不是单独定义的，它们总是通过引用加法和乘法来定义。也就是说，A "-" B 只是 A+(-B)，而 -B 只是您需要 add 到 B 以使其为零的东西。在 GF(2^) 中，那个东西就是 B。这就是为什么 A-B 等于 A+B。类似地，A/B 定义为 A*(1/B)，其中 1/B 是您必须乘 B 才能使其为 1 的东西。但是，没有什么可以乘以 0得到 1。你不能除以零。除法更复杂，@frieu 对计算 1/B 的方法给出了很好的解释。
有关这些算术运算的简单解释，请尝试查看：stackoverflow.com/a/13224531/10763533
@PresidentJamesK.Polk，您可能想让您的评论成为答案。很有帮助！

标签： cryptography galois-field

【解决方案1】：

多项式x^8 + x^4 + x^3 + x^1 不是不可约的：x 显然是一个因式！我的赌注是与 x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 混淆，这是字典上第一个 8 次不可约多项式。

在我们修正多项式之后，GF(2⁸) 是一个场，其中每个元素都是自己的对立面。这意味着减法与加法相同。

该字段中的乘法 * 减去零形成一组 255 个元素。因此，对于任何非零 B，它都满足 B²⁵⁵ = 1。因此，这种 B 的乘法逆元是 B²⁵⁴。

因此，当 B 不为零时，可以将 A / B 计算为 B²⁵⁴ * A。如果除以零得出零，则公式没有特殊情况。

B²⁵⁴ 可以通过标准二进制求幂方法（平方和乘法）使用 13 次乘法计算，依次将 B 提升到 2、3、6、7、14、15、30、31 , 62, 63, 126, 127, 254^th 次方。此answer on crypto.SE 中的C 代码。可以减少到 11 次乘法，并用 255 次乘法构建一个完整的逆表； Try It Online!.

获得（一个）模逆的其他稍快的方法包括扩展欧几里得 GCD 算法和对数/反对数表，请参阅 other answer on crypto.SE。然而：

当速度成为问题时，我们可以预先制作模逆。
那就更复杂了。
作为 B²⁵⁴ 的模逆计算是恒定时间的（在密码学中可用于防止侧信道定时攻击），主要条件是乘法，几乎不可能保证使用其他方法，包括现代硬件和大多数计算机语言上的表格，可能会节省汇编。

【讨论】：

对不起，多项式是x^8+x^4+x^3+x+1，漏掉了最后一个
正如我所说，我得到了一个位序列，比如 11001100 - 我如何将其提高到 255 的幂以得到逆？
@Saf：问题提到了“完成加法和乘法”。就像为这些操作一样准备一个输入位串，然后将其提高到 254 次方（不是 255 次方）以获得逆涉及乘法。基本上，准备工作是：从零开始（相当于空位串），输入位串的每一位乘以x（相当于左移），然后添加输入位。如果输入位超过 8 个，您可能希望减少，就像乘法一样。
我可以在这个字段中将两个多项式相乘，那么执行 254 次乘法会是一个优雅的选择吗？
@Saf：从 B 开始的 253 次 B 乘法将起作用；但优雅的选项涉及 13 次乘法，交替与前一个结果和 B 相乘（如链接的answer on crypto.SE 中）；或按照我解释的方法进行 11 次乘法。