stl ordering - 严格的弱排序答案

【问题标题】：stl ordering - strict weak orderingstl ordering - 严格的弱排序
【发布时间】：2010-11-20 13:31:26
【问题描述】：

为什么 STL 可以使用 strict weak ordering 的比较函数？为什么不能是偏序？

【问题讨论】：

你不能澄清一下展示样本是什么意思吗？

标签： c++ algorithm stl strict-weak-ordering

【解决方案1】：

partial order 不足以实现某些算法，例如排序算法。由于偏序集合不一定定义集合的所有元素之间的关系，那么您将如何对在偏序内没有顺序关系的两个项目的列表进行排序？

【讨论】：

"部分有序集合不一定定义集合的所有元素之间的关系"严格的弱排序并不好，它并不总是使一个元素小于或大于比另一个。

【解决方案2】：

简单地说，严格的弱排序被定义为定义（可计算的）等价关系的排序。等价类按严格弱序排序：严格弱序是对等价类的严格排序。

偏序（不是严格的弱序）没有定义等价关系，所以任何使用“等价元素”概念的规范对于非严格弱序的偏序都是没有意义的。 所有 STL 关联容器在某些时候都使用这个概念，所以所有这些规范对于不是严格弱排序的部分排序是没有意义的。

因为偏序（不是严格的弱序）不一定定义任何严格的序，所以不能按照偏序对常识中的元素进行“排序”（只能做“拓扑排序”具有较弱的属性）。

给定

数学集S
< 对 S 的部分排序
x 中的值 S

您可以定义S 的分区（S 的每个元素都在L(x)、I(x) 或G(x) 中）：

L(x) = { y in S | y<x }
I(x) = { y in S | not(y<x) and not(x<y) }
G(x) = { y in S | x<y }

 L(x) : set of elements less than x
 I(x) : set of elements incomparable with x
 G(x) : set of elements greater than x

一个序列按照<排序 iff 对于序列中的每个x，L(x)的元素在序列中首先出现，然后是I(x)的元素，然后是G(x) 的元素。

对于序列中出现在另一个元素x 之后的每个元素y，对序列进行拓扑排序iff，y 不小于x。这是一个比排序更弱的约束。

证明L(x) 的每个元素都小于G(x) 的任何元素是微不足道的。 L(x) 的元素与I(x) 的元素之间或I(x) 的元素与G(x) 的元素之间没有一般关系。但是，如果< 是严格的弱排序，则L(x) 的每个元素都小于I(x) 的任何元素，并且I(x) 的任何元素都小于G(x) 的任何元素。

如果< 是严格的弱排序，并且x<y 则L(x) U I(x) 的任何元素都小于I(y) U G(y) 的任何元素：不大于x 的任何元素小于不小于@ 的任何元素987654357@。 这不一定适用于部分排序。

【讨论】：

那么实际上严格的弱排序确实隐含地定义了等价关系？假设如果 I(x)
@zoujyjs I(x) 是一个集合（S 的一部分）； I(x) < x 的意思是：对于每个 y，这是 I(x)、y < x 的一个元素？如果是这样，not(x < E) and not(E < x)（其中x 是S 的一个元素，E 是S 的一部分）并不意味着E = {x}。
第一段可能需要一些工作。我不认为“排序”这个词有一个普遍同意的定义，所以也许改为说“严格的部分排序”......但前提是你真正的意思是（我实际上不确定）。目前还不清楚如何定义等价关系。而且我认为“（可计算的）”在这里没有任何意义。因此，建议重写第一句：“简单地说，严格的弱排序可以定义为严格的偏序如果就是你的意思。
哼...我的回答在措辞上有严重问题！我现在很惭愧。答案确实需要编辑。
"我认为“（可计算的）”在这里没有任何意义。” 在 STL 的上下文中，关系不仅仅是一种数学关系。数学上定义明确但您无法计算的关系是无用的。在 STL 的上下文中，关系是返回布尔值和数学关系的 C++ 函数（或函子），并且 C++ 函数必须返回一个值（不是循环，不是调用退出）并且返回的值必须是 true iff 关系成立。

【解决方案3】：

引用here给出的答案：

因为在内部，这些算法将“等于”实现为!(a < b) && !(b < a)。

如果你使用<=来实现小于运算符，那么上面当a == b 时将返回 false。被破坏的平等检查会搞砸几乎任何算法。

同样，他们将“不等于”实现为(a < b) || (b < a) ，再一次，如果您使用<= 实现了< 运算符，那么它当它们彼此相等时将返回 true，而实际上它们不相等。所以相等性检查在两个方向上都被破坏了。

将库限制为小于运算符的全部意义在于所有的逻辑运算符都可以用它来实现：

<(a, b): (a < b)

<=(a, b): !(b < a)

==(a, b): !(a < b) && !(b < a)

!=(a, b): (a < b) || (b < a)

>(a, b): (b < a)

>=(a, b): !(a < b)

只要您提供的运算符满足严格的弱排序。标准的<= 和>= 运算符不支持。

【讨论】：

【解决方案4】：

您不能使用偏序执行二分查找。您不能创建具有偏序的二叉搜索树。算法中的哪些函数/数据类型需要排序并且可以使用部分排序？

【讨论】：