求解按位 XOR 和 ADD 方程

Question

自然可以使用两次异或来取回原始值。如果原始值是掩码的一部分怎么办？

编码：

e[i] = c[i] ^ (c[i] + c[i-1])

假设：起始值c[-1] = 0，^表示按位异或

命令式 C 形式：

void encode(byte *p, int len)
{
    byte prev = 0;
    for (auto i = 0; i < len; i++)
    {
        auto byt = p[i];
        p[i] = byt ^ (prev + byt);
        prev = byt;
    }
}

如何创建一个从 e => c 反转这个的解码步骤？

鉴于我从您的回答中学到的知识，我已经简化/澄清（阅读：更改）问题！使用与 DanL 类似的步骤，从原始方程开始：

e[i] = c[i] ^ (c[i] + c[i-1])

e[i] ^ c[i] = c[i] ^ (c[i] + c[i-1]) ^ c[i]
e[i] ^ c[i] = c[i] + c[i-1]
c[i] = e[i] ^ c[i] - c[i-1]
c[i] ^ c[i] = (e[i] ^ c[i] - c[i-1]) ^ c[i]
0 = e[i] ^ c[i] ^ c[i] - c[i-1] ^ c[i]
0 = e[i] - c[i-1] ^ c[i]
c[i-1] ^ c[i] = e[i]
c[i-1] ^ c[i] ^ c[i-1] = e[i] ^ c[i-1]
c[i] = e[i] ^ c[i-1]

???

现在，查看原始编码 - 第一个字节将始终为零 (= c[i] ^ (c[i] + 0))。所以是的，在这个集合中肯定会丢失一个字节。

Answer 1

在循环的每次迭代中，您都在有效地计算

c_i = e ^ ( p + c_(i-1) )

如果你想反转循环，那么给定一个 c_i 你需要计算 c_(i-1)

但是，正如您所说，两次异或可以让您回到原始值，并且异或是一个交换运算，所以如果您将上述方程与 e 异或，我们就会得到

c_i ^ e = e ^ ( p + c_(i-1) ) ^ e

简化为

c_i ^ e = p + c_(i-1)

然后从两边拿走p给你

(c_i ^ e) - p = c_(i-1)

因此在你的“反转”循环中

你想要代码

c = (c ^ e) - p

编辑：在上下文中看到带有代码的修改后的问题后，我认为这是不可能的，因为我相信 mix 函数有效地将 len 字节数组映射到 len-1 字节数组。

我相信这是因为以下论点：

让未混合的数组称为unmixed，应用mix函数后的混合数组称为mixed

mixed[0] = unmixed[0] ^ (0 + unmixed[0])  //Remember prev = 0 initially

因此 混合[0] = 未混合[0] ^ 未混合[0] = 0

所以混合数组的第一个字节总是 0。

mix 函数不会增加或减少数组的大小，所以我们最终得到一个第一个元素为 0 的 len 字节数组。

因此，我们有效地将 len 字节数组的空间映射到 len-1 字节数组。

如果这是完全可逆的，我们将能够将一个 n 字节数组压缩为一个 n-1 字节数组，然后将该 n-1 字节数组压缩为一个 n-2 字节数组，依此类推。

如果我们以单字节数组为例，那么我们看到 mix 只生成一个元素为 0 的数组，你怎么知道它是之前 256 个可能的未混合数组中的哪一个？