递减指数的递推关系具有递增值

Question

n <- 35
F <- rep(0,n)
N <- rep(0,n)
F[1] <- 1
F[2] <- 1/3
for (k in 3:n) F[k] <- (10/3)*F[k-1]- F[k-2]
F
N <- seq(from=1, to=n, by=1)

如果你不熟悉求解线性递推方程，那也没关系。 无论如何，我们可以通过求解上述递推方程得到 F[n]=3^(1-n) 的结果，即 F[n]=(10/3)F[n-1]-F[n-2 ]，f1=1，f2=1/3。

因此，通过使用

plot (N, F,type="l")

我们可以期待“3^(1-n)”的图形，称为指数函数。

但是，输出与预期不同。与

的输出相比

curve(3^(1-x),0,35, add=TRUE, col='blue')

如您所知，3^(1-x) 是单调递减函数。尽管有预期，但我们只得到了在后期计算中增加的图形。

F[18]>F[19]
TRUE
F[19]>F[20]
FALSE

发生了什么？按照常识，“F[n]>F[n+1]”的所有输出都应该是TRUE。

如果我将分配给“n”的数字从 35 增加到 50，

n <- 50
plot (N, F,type="l")

图形的形状变得非常奇怪。

我猜测原因是基于“双精度二进制浮点”（http://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision）。在我看来，R 将小于 0.0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 * 2^(-52) （有 52 个零）的数字分配为更大的数字，与递归关系相反。

但是，我不知道我的假设是否正确。即使我的假设是正确的，为什么 R 将非常小的数字反向分配为更大的数字，仅在“递归关系”中而不是针对诸如 3^(n-1) 之类的一般函数？ 此外，在“n=50”的情况下，为什么R会完全改变图形的形状？

你能帮帮我吗？

提前谢谢你。

Answer 1

这与 R 本身无关，与您的计算机表示的浮点值有关。

递归关系就像微分方程，问题分为两部分 - 关系和初始条件。改变初始条件，你就有不同的解决方案。

注意初始条件F[1] <- 1; F[2] <- 3，解是3^(x-1)（没有证明，但很容易验证）。一个递增的指数函数。

接下来，请注意元素之间的比率（此处还可以查看H 的中间值）：

H <- tail(F, -1) / head(F, -1)
c(head(H, 1), tail(H, 1))
## [1] 0.3333333 3.0000000

您正在解决方案 f(x) = 3^(1-x) 和 f(x) = 3^(x-k) 之间转换（对于某些常数 k - 这里不是 1，但计算毫无意义完全正确）。

原因是当你减去 F[k-2] 时，算术是不精确的，所以你在每个阶段没有减去足够的量，就好像你有一个更高的初始条件来获得精确解那个阶段。

给出F的前N个点是有效的，然后在那个阶段用递推关系求解。这给出了一系列功能。这就是数值计算时会发生的情况 - 在每次计算中，它是一组不同的初始条件。

您实际上是在计算 f(x) = (10/3)f(x-1) - f(x-2) + e(f(x-2)) 的解，其中 e(x) >所有 x 都为 0（并且表示在减法中从末尾脱落的位）。