为什么下面的代码是错误的？二项式系数

Question

我正在做项目 euler，我现在遇到问题 15，这是一个链接： https://projecteuler.net/problem=15 。我试图用二项式系数来解决这个问题。这是一个解释它的网站：http://www.mathblog.dk/project-euler-15/。您可以在底部找到它。

我的问题是，为什么下面的代码是错误的？由于这遵循我认为的数学算法：n-k+i/i

        int grid = 20;
        long paths = 1;
        for (int i = 0; i < grid; i++)
        {
            paths *= (grid * 2) - (grid + i)
            paths /= (i + 1);
        }
        Console.WriteLine(paths);
        Console.ReadKey();

为什么这段代码是错误的？这与 mathblog 网站完全相同，但只有 1 行。

        int grid = 20;
        long paths = 1;
        for (int i = 0; i < grid; i++)
        {
            paths *= ((grid * 2) - i) / (i + 1);
        }
        Console.WriteLine(paths);
        Console.ReadKey();

但是为什么这段代码是正确的呢？是不是和前面的代码一样？它不完全遵循数学算法吗？因为是n-k+i/i，而这段代码做n-i/i

       int grid = 20;
        long paths = 1;
        for (int i = 0; i < grid; i++)
        {
            paths *= ((grid * 2) - i);
            paths /=  (i + 1);
        }
        Console.WriteLine(paths);
        Console.ReadKey();

谢谢各位！

Answer 1

如果要组合计算应该是这样的

paths = (path *((grid * 2) - i))/(i + 1);

Answer 2

按照惯例，在许多编程语言中，int/int 给出的是 int,* 而不是浮点数。您的方法意味着“路径”应该采用非整数值。事实上，这三种方法都不应该起作用，但巧合的是，最后一种方法起作用了：基本上是因为“路径”的所有中间值也恰好是二项式系数。

调试建议：让你的程序输出中间值。这很有帮助。

*：作为一名数学家，我几乎从不需要这个功能。事实上，其他约定（int/int -> double）平均而言会让我作为程序员的生活更轻松。

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我看过你提到的博客。这使您的信息更容易理解。 博客中提到了一个公式：i 从 1 到 k 的 (n-k+1)/i 的乘积。 所以要模仿它，你需要写

    for (int i = 1; i <= grid; i++) // bounds!
    {
        paths *= (grid * 2) - (grid - i) // minus sign!
        paths /= (i + 1);
    }

关于这适用于整数的事实：这是一个意外，因为在产品的中间值（在每个循环结束时）在整个计算过程中都是二项式系数。如果您要以另一种顺序计算乘积和除法，则很可能得到非整数，因此由于约定 int/int -> int，计算将失败，路径为整数变量类型。该博客没有提及这一点并不是很有帮助。