更改方程式以扩展整数溢出

Question

问题定义

我有一个由一组点 (x,y) 表示的二维场景，其中 x 和 y 是 64 位整数。 x 和 y 值都在 [0, R] 的范围内（可能的 x 最小值为 0，最大值为 R。同样的规则适用于 y）。

在我的代码中的某个时刻，我执行以下操作。

// Returns true if point P is inside circle defined by points A, B, C.
private bool InCircle(Long2 A, Long2 B, Long2 C, Long2 P)
{
    Long2 AP = P - A;
    Long2 BP = P - B;
    Long2 CP = P - C;
    return AP.SquareMagnitude * Long2.Det(BP, CP) + BP.SquareMagnitude * Long2.Det(CP, AP) + CP.SquareMagnitude * Long2.Det(AP, BP) > 0;
}

// Notes:
SquareMagnitude = x * x + y * y
Long2.Det(a, b) = a.x * b.y - a.y * b.x

我不希望这个操作失败，所以其中的整数不能溢出。最大值出现在以下情况：

• A = (0, 0)
• B = (R, 0)
• C = (0, R)
• P = (R, R)

这些点导致：

• AP = (R, R)
• BP = (0, R)
• CP = (R, 0)

如果这些值在方法上运行，我们得到：

• AP.SquareMagnitude = R² + R²
• Lo​​ng2.Det(BP, CP) = R²
• BP.SquareMagnitude = R²
• Lo​​ng2.Det(CP, AP) = R²
• CP.SquareMagnitude = R²
• Lo​​ng2.Det(AP, BP) = R²

结果变成：

• (2 * R² * R²) + (R² * R²) + (R² * R²) > 0

等同于：

• 4 * (R^4) > 0

如果我们不希望 64 位整数溢出，那么：

• 4 * (R^4)

因此，最大 R 值为 2^15 = 32768。（实际上是 2^15.25，但我们会将其四舍五入为 2^15）。

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问题

有什么方法可以增加最大 R 值而不会使用 64 位整数溢出？比如把方程分解成更小的值，然后分别比较。

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到目前为止我的想法

我想把等式改成：

return AP.SquareMagnitude * Long2.Det(BP, CP) > -BP.SquareMagnitude * Long2.Det(CP, AP) - CP.SquareMagnitude * Long2.Det(AP, BP);

这会导致：

• 2 * R² * R² > -(R² * R²) - (R² * R²)
• 2 * (R^4)
• R

此外，我不知道这样做是否安全。是吗？

使用整数是有目的的，输出精度是必须的。

我知道这个库：

https://www.cs.cmu.edu/~quake/robust.html

但我想使用整数，而不是浮点数。这里使用的方法在整数溢出限制内是稳健的。只希望扩展此溢出限制。

Answer 1

所以我想运行检查整数算术，如果溢出，将 64 位整数转换为小数。

// Returns true if point P is inside circle defined by points A, B, C.
private bool InCircle(Long2 A, Long2 B, Long2 C, Long2 P)
{
    Long2 AP = P - A;
    Long2 BP = P - B;
    Long2 CP = P - C;
    try 
    {
        long a = checked(AP.SquareMagnitude * Long2.Det(BP, CP));
        long b = checked(BP.SquareMagnitude * Long2.Det(CP, AP));
        long c = checked(CP.SquareMagnitude * Long2.Det(AP, BP));
        long lhs = checked(checked(a + b) + c);
        return lhs > 0;
    }
    catch (System.OverflowException)
    {
        decimal a1 = new decimal(AP.SquareMagnitude);
        decimal a2 = new decimal(Long2.Det(BP, CP));
        decimal b1 = new decimal(BP.SquareMagnitude);
        decimal b2 = new decimal(Long2.Det(CP, AP);
        decimal c1 = new decimal(CP.SquareMagnitude);
        decimal c2 = new decimal(Long2.Det(AP, BP);
        decimal lhs = a1 * a2 + b1 * b2 + c1 * c2;
        return lhs > 0;
    }
}

// Notes:
SquareMagnitude = x * x + y * y
Long2.Det(a, b) = a.x * b.y - a.y * b.x

如果我没记错的话，小数可以精确地表示小于 2^96 的整数。所以为了避免精度损失和溢出：

• 4 * (R^4)
• R

为了避免整数运算溢出，(R² + R²) 是最大运算：

• R² + R²
• 2 * R²
• R

使用这种方法，最大R值变成2^23，非常棒。

另一个想法：如果方法不尝试执行检查整数算术，而是从一开始就将值转换为小数并进行小数数学运算，那么代码平均运行速度会更快吗？

这行得通吗？我是不是做错了什么？