在两个重叠的椭圆形状区域内生成随机点答案

【问题标题】：Generate Random Points Within the Area of Two Overlapping Ellipse Shapes在两个重叠的椭圆形状区域内生成随机点
【发布时间】：2013-04-01 23:31:00
【问题描述】：

使用 JavaScript、PHP 或伪代码，有人可以展示如何在两个重叠椭圆形状之间的区域内生成随机点吗？如果你看一下下面的图片，黑色标记的区域就是要填充的区域。

如果您假设两个椭圆形状都与其中心在 0、0 处对齐，并且我们将内部椭圆的 x 轴大小设为 200，y 轴大小设为 150，则椭圆越大（黑色区域的外边缘） x 轴大小为 300，y 轴大小为 250。

我知道我可以只取一个矩形区域并生成随机点，然后检查它们与中心的距离，看看它们是否落入黑色区域，但我想要一个更复杂、更少浪费的方法来使用一些不错的数学来做到这一点，如果可能！

【问题讨论】：

即使您确实需要均匀分布，极坐标似乎也是正确的方向。椭圆是否同心（您已经对此表示同意）并且长轴或短轴沿/平行于 X 轴？其次两个椭圆是否相似（意思是彼此成比例）？

标签： javascript math random shapes

【解决方案1】：

现在是凌晨 4 点，所以我建议仔细检查我写的所有内容。也就是说，变换中出现雅可比行列式，

x = √r * cosθ
y = √r * sinθ

是 det( cosθ / 2√r, - √r * sinθ ; sinθ / 2√r, √r * cosθ ) = (cosθ)^2 / 2 + (sinθ)^2 /2 = 1/2。这意味着它是恒定的。因此，笛卡尔坐标中区域 A 的任何区域都映射到新坐标系中的“变形区域”A/2 区域。由于原始区域的位置完全独立，因此我们得出结论，如果原始区域是，那么这个（和均匀的延伸）必须是均匀分布。这意味着您只需统一采样以匹配您所在的地区：

var r = 80,
    R = 120,
    _r = Math.sqrt(Math.random()*(R*R-r*r)+r*r),
    theta = Math.random()*2*Math.PI;
plot(_r*Math.cos(theta),_r*Math.sin(theta)/4);

http://jsfiddle.net/SQERh/

这与您的描述略有不同，因为您的内椭圆不是外椭圆的均匀拉伸，这使得类似的极坐标变换更加复杂，因为半径成为角度的函数。

【讨论】：