使用 (mod 2^32+1) 重复答案

【问题标题】：recurrence using (mod 2^32+1)使用 (mod 2^32+1) 重复
【发布时间】：2014-07-02 02:55:47
【问题描述】：

在 m = 2^32+1 = 641*6700417 的情况下，mod 函数只不过是 32 位处理器上的一次减法。我不在乎复发
Seed = Seed*a%m
不是一个好的随机数生成器。我希望在加密算法中将其用作 32 位宽的 sbox。如果“a”的试验值会导致重复访问所有 2^32 值，是否有一种算法会返回 true？

假设这样的算法存在，我怀疑如果 a*b%m = 1，那么使用“b”的递归将向后运行。我怀疑是真的。我会使用“b”来实现反向 sbox。

我可以使用 mod (2^16+1) 完成我要求的所有操作，但这个数字是素数。

【问题讨论】：

最适合crypto.stackexchange.com 或math.stackexchange.com?
之所以有效，是因为这个数字是素数。梅森素数应该可以工作，否则可能有两个整数 m, n 使得 m*n 是模数的除数，并且将返回 sbox 和逆 sbox 的非唯一值。在您的情况下，使用 2^16 + 1 作为模数只会为您提供唯一值，并且允许 b 用于实现逆 sbox，但仅适用于梅森素数。
这是一道数论题，但答案是“不存在这样的值”，因为 |Zn˟| = (n-1) 仅适用于素数 n，并且仅对于某些 n 值是循环的 (details in this article)。你应该跟进math.stackexchange.com。

标签： algorithm math

【解决方案1】：

如果“a”的试验值会导致重复访问所有 2³² 个值，是否有一种算法会返回 true？

是的，有：

return false;

最明显的原因是所有 2³² 个可能值的集合都包含值零，并且重复出现卡住了，因此它不是循环的。但即使你排除了零，如果你从 641 的倍数开始，那么你只会访问 641 的倍数，其他因素也是如此。

这种“访问所有值”属性仅在您对某个素数进行模减并且排除零时才有效。

【讨论】：

【解决方案2】：

这不是一个很简单的问题。很容易回答，在您的情况下，您使用的数字很差。然而，简单的答案：使用素数也不是正确的答案。

如果我们使用递归：

r := (r a) mod m

很容易看出，当且仅当所有 a^i mod m 为 i = 0 .. m-2 给出不同的数字。但是，即使 a 和 m 都是素数，这也不会自动发生。

不能使用两个素数的例子：a = 13, m = 17，因为13^4 mod 17 == 1，循环将是非常短（4 步）。

因此，我们还需要一些其他要求。长话短说，这种类型的生成器（乘同余生成器）会产生最大循环 (m-1)，如果：

m 是素数
a 是 m 的原根

不幸的是，后一个要求有点困难，因为没有找到原始根的通用公式。（请注意，a 不一定是素数，例如 m=17 和 a=10 的组合给出了完整的循环。）

因此，尽管这是一个看似简单的问题，但它涉及数论的一些相当基本的方面。

【讨论】：