svds 不适用于某些矩阵 - 结果错误

Question

这是我的测试功能：

            function diff = svdtester()

            y = rand(500,20);
            [U,S,V] = svd(y);

            %{
            y = sprand(500,20,.1);
            [U,S,V] = svds(y);
            %}

            diff_mat = y - U*S*V';
            diff = mean(abs(diff_mat(:)));

            end

有两个非常相似的部分：一个找到随机矩阵的 SVD，另一个找到随机稀疏矩阵的 SVD。无论您选择注释哪一个（现在第二个已被注释掉），我们都会计算原始矩阵与其 SVD 分量乘积之间的差值，并返回平均绝对差值。

使用 rand/svd 时，典型的返回（平均误差）值在 8.8e-16 左右，基本上为零。使用 sprand/svds 时，典型的返回值在 0.07 左右，考虑到稀疏矩阵开始时 90% 是 0，这相当糟糕。

我是否误解了 SVD 应该如何处理稀疏矩阵，或者这些函数有什么问题？

Answer 1

是的，svds 的行为与svd 有点不同。根据 MA​​TLAB 的文档：

[U,S,V] = svds(A,...) 返回三个输出参数，如果A 是m-by-n：

U 是 m-by-k，带有正交列

S 是 k-by-k 对角线

V 是 n-by-k，带有正交列

U*S*V' 是与A 最接近的k 近似值

事实上，通常k 与6 差不多，所以你会得到相当“粗鲁”的近似值。要获得更精确的近似值，请将 k 指定为 min(size(y))：

[U, S, V] = svds(y, min(size(y)))

您将得到与svd 相同数量级的错误。

附：此外，MATLAB 的文档说：

注意svds 最适合用于查找大型稀疏矩阵的几个奇异值。要找到这样一个矩阵的所有奇异值，svd(full(A)) 通常会比svds(A,min(size(A))) 执行得更好。