让我谈谈在平均使用的随机位数方面“最佳”的随机整数生成算法。在本文的其余部分，我们将假设我们有一个“真正的”随机生成器，它可以产生无偏且独立的随机位。
1976 年，D. E. Knuth 和 A. C. Yao 表明，任何仅使用随机位以给定概率产生随机整数的算法都可以表示为二叉树，其中随机位指示遍历树和每个叶子的方式（端点）对应于一个结果。他们还给出了给定算法执行此任务所需的平均位数的下限。在这种情况下，在[0, n) 中统一生成整数的最佳 算法平均最多需要log2(n) + 2 位。在这个意义上，有很多最优算法的例子。其中一个是 J. Lumbroso (2013) 的 Fast Dice Roller（在下面实现），另一个可能是 2004 年 Math Forum 中给出的算法。另一方面，所有算法 surveyed by M. O'Neill 都不是最优的，因为它们依赖于一次生成随机位块。
然而，任何最优整数生成器也是无偏的，一般来说，在最坏的情况下会永远运行，正如 Knuth 和 Yao 所展示的那样。回到二叉树，n 个结果标签中的每一个都留在二叉树中，因此 [0, n) 中的每个整数都可以以 1/n 的概率出现。但是如果 1/n 有一个非终止的二元展开式（如果 n 不是 2 的幂就是这种情况），这棵二叉树必然要么——
- 具有“无限”深度，或
- 在树的末端包含“拒绝”叶子，
在任何一种情况下，算法都会在最坏的情况下永远运行，即使它平均使用很少的随机位。 （另一方面，当 n 是 2 的幂时，最优二叉树将具有有限深度且没有拒绝节点。）快速骰子滚轮是使用“拒绝”事件来确保其无偏性的算法示例；请参阅下面代码中的注释。
因此，一般而言，随机整数生成器可以是任一无偏或恒定时间（甚至两者都不是），但不能两者兼而有之。 特别是，通常没有办法在不引入偏差的情况下“修复”不确定运行时间的最坏情况。例如，模约简（例如，randInt() % n）相当于一棵二叉树，其中拒绝叶被标记的结果替换——但由于可能的结果比拒绝叶多，因此只有一些结果可以代替拒绝离开，引入偏见。如果您在一定次数的迭代后停止拒绝，则会产生相同类型的二叉树 - 以及相同类型的偏差。 （但是，根据应用程序，这种偏差可能可以忽略不计。随机整数生成也有安全方面的问题，这太复杂了，无法在此答案中讨论。）
请注意，我们假设我们有一个随机位生成器。但是，Java 实现中存在一个问题：它无法生成单独的随机位。 （事实上，大多数伪随机数生成器一次生成位块，而不是单个位。）因此，正如在撰写本文时的另一个答案中所提到的，为了优化使用随机位，您需要保存结果nextInt() 并一次读出一个位。读取完所有位后，生成另一个 nextInt() 并重复。
快速掷骰子实现
以下是快速掷骰子的 JavaScript 实现。请注意，它使用拒绝事件和循环来确保它是公正的。 nextBit() 是一种产生独立无偏随机位的方法（例如，Math.random()<0.5 ? 1 : 0，在 Java 或 JavaScript 中最终依赖的随机位方面不一定有效）。
function randomInt(minInclusive, maxExclusive) {
var maxInclusive = (maxExclusive - minInclusive) - 1
var x = 1
var y = 0
while(true) {
x = x * 2
var randomBit = Math.random()<0.5 ? 1 : 0
y = y * 2 + randomBit
if(x > maxInclusive) {
if (y <= maxInclusive) { return y + minInclusive }
// Rejection
x = x - maxInclusive - 1
y = y - maxInclusive - 1
}
}
}
以下版本返回 BigInt，这是最新版本的 JavaScript 支持的任意精度整数：
function randomInt(minInclusive, maxExclusive) {
minInclusive=BigInt(minInclusive)
maxExclusive=BigInt(maxExclusive)
var maxInclusive = (maxExclusive - minInclusive) - BigInt(1)
var x = BigInt(1)
var y = BigInt(0)
while(true) {
x = x * BigInt(2)
var randomBit = BigInt(Math.random()<0.5 ? 1 : 0)
y = y * BigInt(2) + randomBit
if(x > maxInclusive) {
if (y <= maxInclusive) { return y + minInclusive }
// Rejection
x = x - maxInclusive - BigInt(1)
y = y - maxInclusive - BigInt(1)
}
}
}