网格步长（两个相邻机器可表示数字之间的差异

Question

我写了这样一个代码来查找网格步长（两个相邻的机器可表示数之间的差，机器 epsilon 是大于一和一的最小机器可表示数之间的差）。为什么这个程序对于 x 的巨大值显示 1 以及如何修复它以显示正确答案？

#include <stdio.h>
int main(void)
{
    long double x,eps=1.0,a; 
    scanf("%Lg",&x);
    do
    {
        a=eps;
        eps/=2.0;
    }
    while( x+eps>x);
    printf("Grid step: %Le",(long double)a);
    return 0;
}

Answer 1

浮点数表示为符号（+1 或 -1）s、指数 e 和数字 f具有固定基数的固定位数（称为有效数字）。以 b 为底，精度（位数）p，用符号 s 表示的数字，指数 e，和数字 f₀, f_-1, f_-2 , f_-3, f_-4,… f _1−p 是 s•b^e •sum(f_i•bⁱ对于 -p

例如，底数为 2、精度为 4、符号 +1、指数 1 和有效位数 1.001，表示的数字为 +1•2¹•1.001₂ = 2•1⅛ = 2¼ = 9/4 = 2.25。

给定范围内的任何可表示数，通过将有效数的最低位加 1 来获得下一个更大的可表示数。在上面的例子中，下一个更大的数字的有效数为 1.010，并且符号和指数相同，因此它将是 +1•2¹•1.010₂ = 2•1¼ = 2½ = 10/4 = 2.5。

这意味着，如果一个数字x用指数e表示，那么它与下一个更大的可表示数字之间的差是b^e•b^1-p = b^e+1−p.

数字 1 用指数 0 表示，因为 1 = +1•b⁰•1.000…000_{b。所以 1 和下一个可表示的数之间的差是 b^1−p。如果您的long double 格式的基数为 2，精度为 64 位（位），则此差异为 2¹⁻⁶⁴ = 2⁻⁶³，因此所谓“机器ε”的值应该是2^-63。}

如果使用的是二进制格式，那么 2 用指数 1 表示，因此它与下一个可表示的数字之间的差是 b^e+1−p = 2¹⁺¹⁻⁶⁴ = 2⁻⁶²。这些差异称为 ULP，即最低精度单位。

4 的 ULP 为 2^-61，8 的 ULP 为 2^-60，以此类推。对于 2⁶³，ULP 为 2⁶³⁻⁶³ = 1。

当您输入 2⁶⁴ 或更大的数字时，您的程序无法找到 ULP，因为 ULP 大于 1，但您的程序开始查找 1 并向下工作。

您可以通过从long double 格式中可能的最大 ULP 开始，或者根据x 的值将程序更改为向上或向下工作来修复它。