在有向无环图上预测路径答案

【问题标题】：Predicting path on a directed acyclic graph在有向无环图上预测路径
【发布时间】：2012-11-05 11:50:53
【问题描述】：

我遇到了一个问题，想知道是否可以预测最终结果。

这是图（有向无环图）上的一对一（交替移动）游戏。
从起点或节点开始，玩家 1 选择到节点 v1 的边。从节点 v1，玩家 2 选择一条到节点 v3 的边，依此类推。

如何获胜：到达没有出边的节点的玩家输了。

是否有可能提出一种算法，无论其他玩家做什么，它都能保证获胜？

所以，起始节点是s。玩家 1 可以选择 C 或 A。所以基本上，有没有办法让我根据某种可以保证我获胜的算法做出决定？

在这种情况下，如果我在节点 D 或 B 并选择通往节点 E 的边，那么我会赢，所以玩家 2 会卡在节点 E。

*距离无所谓

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您需要将图形的节点分为两种类型：获胜节点和失败节点。获胜节点是当前玩家在该节点上具有获胜策略的节点，而失败节点是当前玩家无论他如何玩都会输的节点（假设他的对手正确玩）。由于这是一个有向无环图，所有节点要么赢要么输（因为最终会到达一个没有出边的节点）。

没有出边的节点显然正在丢失节点。对于另一个节点 N：

要对所有节点进行分类，请反向遍历节点topological order。根据上述规则对每个节点进行分类。反向拓扑顺序保证您在对 N 进行分类之前已经对所有可以从 N 到达的节点进行了分类。

完成后，如果起始节点是获胜节点，则有一个获胜策略：始终选择失败节点的边。

【讨论】：

【解决方案2】：

一般来说，不会。这将取决于您的图表。假设您有一个奇数节点的简单树/链（= n 个节点和 n-1 个边的图）。然后玩家二总是会赢，因为你不能强行赢。

您可以查看一些min-max algorithms 来指导您的游戏策略。有了这些，您可以递归地确定谁将获胜，方法是从最后开始并返回，确定 DAG 的每个子 DAG 的获胜者。

【讨论】：