当启发式总是低估时 A* 算法最优性的证明

Question

我理解为什么当启发式总是低估时，A* 算法总是给出到达目标状态的最佳路径，但我无法为其创建正式的证明。

据我了解，随着每条路径的深入，f(n) 的准确度会增加，直到达到 100% 准确的目标状态。此外，不会忽略不正确的路径，因为估计值低于实际成本；从而导致最优路径。但是我应该如何为它创建一个证明呢？

Answer 1

考虑最后一步，即完成最佳路径的那一步。

为什么 A* 必须选择那条路径？或者，换一种说法，为什么 A* 必须避免选择达到目标的次优路径？

提示：这就是启发式需要可接受的原因。请注意，可以选择次优路径，只要它没有完成路径（为什么？）。

这应该让您了解如何制作证明。

Answer 2

证明的主要思想是，当 A* 找到一条路径时，它找到了一条估计值低于任何其他可能路径的估计值的路径。由于估计是乐观的，因此可以安全地忽略其他路径。

此外，A* 仅在满足两个条件时才是最优的：

1. 启发式是可接受的，因为它永远不会高估成本。

2. 启发式是单调的，即如果h(n_i) i + 1)，然后 real-cost(n_i) i + 1)。

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您可以通过假设相反的假设并扩展其含义来证明最优性是正确的。

假设 A* 给出的路径不是在可接受的单调启发式下是最优的，并考虑这意味着什么（你很快就会发现自己遇到了矛盾），因此，您最初的假设被简化为荒谬。

由此您可以得出结论，您最初的假设是错误的，即 A* 在上述条件下是最优的。 Q.E.D.