使用 A* 解决旅行推销员答案

【问题标题】：Using A* to solve Travelling Salesman使用 A* 解决旅行推销员
【发布时间】：2011-05-26 02:32:21
【问题描述】：

我的任务是编写 A* 算法（提供启发式算法）的实现，以解决旅行商问题。我了解算法，它很简单，但我看不到实现它的代码。我的意思是，我明白了。节点的优先级队列，按距离 + 启发式（节点）排序，将最近的节点添加到路径上。问题是，如果不能从前一个最近的节点到达最近的节点会发生什么？一个人实际上如何将“图形”作为函数参数？我只是看不到算法实际上是如何工作的，就像代码一样。

我在发布问题之前阅读了维基百科页面。反复。它并没有真正回答这个问题——搜索图表是一种方式，与解决 TSP 方式不同。例如，您可以构建一个图，其中任何给定时间的最短节点总是导致回溯，因为两条相同长度的路径不相等，而如果您只是尝试从 A 到 B，那么两条路径相同的长度是相等的。

您可以得出一个图，通过始终先走最近的方式永远无法到达某些节点。

我真的不明白 A* 如何适用于 TSP。我的意思是，找到从 A 到 B 的路线，当然，我明白了。但是TSP？我没有看到连接。

【问题讨论】：

A* 似乎是我从 CS 课程中记得的一个很好的总结。 Dijkstra algorithm 非常相似（但更简单），因此开始时可能会更好。优先级队列在这两种情况下都很方便。
@pst：如果你想从 A 点到 B 点，A* 和 Dijkstra 的算法很有用。如果你想通过具有特定约束的路径从 A 点到 A 点，那么，那是另一回事。
当我在 Uni 的时候（上个千年），我们有一个任务是用我们想要的任何语言实现 A*，大多数人选择了我们最熟悉的 C++，但我选择了 Prolog，因为它看起来更适合这个问题。长话短说，我完成任务的速度比大多数人都快，你也许可以从 Prolog 开始，跳过中间阶段。
“[...] 或特定于语言的代码，例如 Boost。” Boost::graph 有一个 A* 的实现
作为副本被关闭的......

标签： algorithm a-star traveling-salesman

【解决方案1】：

我找到了解决方案here

使用最小生成树作为启发式。

设置初始状态：代理在起始城市且未访问过任何其他城市

目标状态：代理已访问所有城市并再次到达起始城市

后继功能：生成所有尚未访问过的城市

Edge-cost：节点所代表的城市之间的距离，用这个成本计算g(n)。

h(n)：从当前城市到最近的未访问城市的距离 + 估计旅行所有未访问城市的距离（此处使用 MST 启发式）+ 从未访问城市到起始城市的最近距离。请注意，这是一个可接受的启发式函数。您可以考虑维护访问城市列表和未访问城市列表以方便计算。

【讨论】：

可以在 MST 的行为违反直觉的情况下构建有问题的图表。假设您有一张图表，其中有 N 个城市可供访问。使用 MST，您可以获得到目标的剩余距离的下限。然后删除一个城市，留下N-1个城市去访问。现在到目标的剩余距离可能更大！本周这个问题困扰着我，因为我试图在我的 A* 最近邻搜索中使用最小生成树。我的解决方案是减去一个奖金乘以访问的城市数量来平滑函数。
这种启发式甚至不可接受。由于在构建 MST 时删除了一些边，因此 MST 中两个城市之间的距离可能大于实际图中两个城市之间的距离。

【解决方案2】：

这里的困惑在于，您尝试求解 TSP 的图不是您正在执行 A* 搜索的图。

查看相关：Sudoku solving algorithm C++

要解决这个问题，你需要：

定义您的：
- TSP 状态
- TSP 初始状态
- TSP 目标状态
- TSP 状态后继函数
- TSP 状态启发式
将通用 A* 求解器应用于此 TSP 状态图

一个我能想到的简单例子：

TSP 状态：当前处于 TSP 周期的节点（城市）列表
TSP 初始状态：包含单个节点的列表，即旅行商的家乡
TSP 目标状态：如果一个状态包含城市图中的每个节点，那么它就是一个目标
TSP后继功能：可以将任何不在当前循环中的节点（城市）添加到循环中的节点列表的末尾以获得新的状态
- 过渡的成本等于您添加到循环中的边的成本
TSP 状态启发式：由您决定

【讨论】：

【解决方案3】：

如果只是理解算法及其工作原理的问题，您可能需要考虑在纸上绘制图表，为其分配权重并将其绘制出来。您还可以找到一些显示 Dijkstra 最短路径的动画，Wikipedia 有一个很好的。 Dijkstra 和 A* 之间的唯一区别是添加了启发式算法，一旦到达目标节点就停止搜索。至于用它来解决 TSP，祝你好运！

【讨论】：

如果暗示用 A* 求解 TSP 将很困难，那么它不是。我同意上面的评论，从 Dijkstra 开始可能会更容易，但是一旦你决定了实现细节，两者都非常简单。
我想我没有看到 A* 如何帮助您解决 TSP。通过只允许选择最近的未访问邻居，您将获得一条有效的路线，但不一定是最短的路线。 TSP（正如它一直对我所说的那样）想要最短的非重复路径。也许我误解了 OP 的目标。

【解决方案4】：

更抽象地考虑一下这个问题。暂时忘掉A*吧，无论如何它只是带有启发式的dijkstra。以前，你想从 A 到 B。你的目标是什么？到达 B。目标是以最少的成本到达 B。在任何给定的时间点，您当前的“状态”是什么？可能只是您在图表上的位置。

现在，你想从 A 开始，然后去 B 和 C。你现在的目标是什么？通过 B 和 C，保持最低成本。您可以使用更多节点来概括这一点：D、E、F、...或仅 N 个节点。现在，在任何给定的点上，您当前的“状态”是什么？这很关键：它不仅仅是您在图表中的位置 - 它也是 B 或 C 中的哪一个或您迄今为止在搜索中访问过的任何节点。

实现您的原始算法，以便在 X 移动后调用一些函数来询问它是否已达到“目标状态”。之前，该函数只会说“是的，您处于状态 B，因此您处于目标位置”。但是现在，如果搜索的路径已经经过每个兴趣点，让该函数返回“是的，您处于目标状态”。它会知道搜索是否已通过所有兴趣点，因为它包含在当前状态中。

得到这些之后，用一些启发式方法改进搜索，然后 A* 优化它。

【讨论】：

我很难理解 dijekstrs 但你的想法看起来很暴力。

【解决方案5】：

回答您的一个问题...

要将图形作为函数参数传递，您有多种选择。您可以将指针传递给包含所有节点的数组。如果它是一个完全连接的图，您可以只传递一个起始节点并从那里开始工作。最后，您可以编写一个图形类，其中包含您需要的任何数据结构，并将引用传递给该类的实例。

至于您关于最近节点的其他问题，A* 搜索的一部分是否会根据需要回溯？或者您可以实施自己的回溯来处理这种情况。

【讨论】：

【解决方案6】：

问题是，如果不能从上一个最近的节点到达最近的节点会发生什么？

这一步不是必须的。例如，您不是在计算从上一个最近到当前最近的路径，而是在尝试到达目标节点，而当前最接近的是唯一重要的事情（例如，算法不关心最后一次迭代你在 100 公里之外，因为这次迭代你只有 96 公里）。

作为广义的介绍，A* 并不直接构建路径：它会进行探索，直到明确知道路径包含在它所探索的区域内，然后根据探索过程中记录的信息构建路径。

（我将使用the code in the Wikipedia article 作为参考实现来帮助我解释。）

您有两组节点：closedset 和 openset

closedset 包含已完全评估的节点，也就是说，您确切知道它们与start 的距离以及它们的所有邻居都在两组之一中。这没有更多的计算你可以用它们做，所以我们可以（有点）忽略它们。（基本上这些都完全包含在边界内。）

openset 拥有“边界”节点，您知道这些与start 的距离有多远，但您还没有接触到它们的邻居，所以它们目前处于您搜索的边缘。

（隐含地，还有第三组：完全未触及的节点。但直到它们在 openset 中才真正触及它们，所以它们无关紧要。）

在给定的迭代中，如果您有要探索的节点（即openset 中的节点），您需要确定要探索的节点。这是启发式算法的工作，它通过告诉你它认为哪个节点将具有到goal 的最短路径，基本上给你一个提示，告诉你边界上的哪个点是下一个最好探索的点。

之前最近的节点无关紧要，只是稍微扩大了边界，在openset添加了新节点。这些新节点现在是本次迭代中最近节点的候选者。

起初，openset 仅包含 start，但随后您进行迭代，并在每一步中将边框扩大一点（朝最有希望的方向），直到最终到达 goal。

当 A* 实际进行探索时，它并不担心哪些节点来自哪里。它不需要，因为它知道它们与start 的距离以及启发式函数，这就是它所需要的全部。

但是以后要重构路径，你需要有一些路径的记录，这就是camefrom。对于给定节点，camefrom 将其链接到最接近start 的节点，因此您可以通过从goal 向后跟踪链接来重建最短路径。

实际上如何将“图形”作为函数参数？

通过传递representations of a graph 之一。

我真的不明白 A* 如何适用于 TSP。我的意思是，找到从 A 到 B 的路线，当然，我明白了。但是TSP？我没有看到连接。

您需要不同的启发式和不同的结束条件：goal 不再是单个节点，而是所有连接的状态；并且您的启发式是对连接其余节点的最短路径长度的一些估计。

【讨论】：