优化在网格图中找到哈密顿循环的函数？

Question

我已经制作了一个在网格图中查找哈密顿循环的有效算法。但是，我实施的方法包括递归检查所有可能的组合，直到找到正确的组合。这在小图（如 6*6）上很好，但在较大的图上变得太慢了，我需要找到 (30 * 30) 的循环。

在 main 中，我初始化了一个 2D 整数向量，表示输出图 (board)，并将其初始化为 -1。 -1 表示该空间尚未“填充”，而高于该值的值表示它们在循环中的位置（0 - 第一个单元格，1 - 第二个单元格等）。我使用初始化一个 Vector2f（SFML 的向量处理方式，与标准库中的对相同），我用它来步进所有可能的状态。 而且我还初始化了路径整数，这将在以后有所帮助。最后我调用了 Hamiltionan 循环查找算法 (HamCycle())。

int main(){
int path = 0;
int bx = 8;
std::vector<std::vector<int>> board{ 8 };
Vector2f pos = { 4 , 4 };
for (int i = 0; i < bx; i++) {
    board[i].resize(bx);
    for (int j = 0; j < bx; j++) board[i][j] = -1;  
}
hamCycle(board, pos, path, bx);
};

然后我hamCycle() 检查pos 向量是否超出网格，如果是则返回false。否则我给这个单元格路径的值，然后增加。我检查算法是否完成，是循环还是路径。如果是路径，则返回 false。然后我递归地检查它周围的单元格并重复这个过程。

bool hamCycle(std::vector<std::vector<int>> &board,Vector2f pos, int &path, int bx) {


//check if it's outside the box and if it's already occupied
if (pos.x >= bx || pos.x < 0 || pos.y >= bx || pos.y < 0) return false;
if (board[pos.x][pos.y] != -1) return false;

board[pos.x][pos.y] = path;
path++;
//check if the cycle is completed
bool isDone = true;
if (path != (bx * bx)) isDone = false;

//check if this cell is adjacent to the beggining and if so it's done
if (isDone) {
    if (pos.x != 0 && pos.x != (size - 1) && pos.y != 0 && pos.y != (size - 1)) {
        if ((board[pos.x + 1][pos.y] == 0) || (board[pos.x - 1][pos.y] == 0) || (board[pos.x][pos.y 
        + 1] == 0)
            || (board[pos.x][pos.y - 1] == 0)) {
            return true;
        }
        path--;
        board[pos.x][pos.y] = -1;
        return false;
    }
    else {
        path--;
        board[pos.x][pos.y] = -1;
        return false;
    };
}
//recursion time 
if (hamCycle(board, Vector2f(pos.x + 1, pos.y), path, bx)) return true;
if (hamCycle(board, Vector2f(pos.x - 1, pos.y), path, bx)) return true;
if (hamCycle(board, Vector2f(pos.x, pos.y + 1), path, bx)) return true;
if (hamCycle(board, Vector2f(pos.x, pos.y - 1), path, bx)) return true;

path--;
board[pos.x][pos.y] = -1;
return false;
}

现在它在已经阻塞出口的情况下花费大量时间检查所有可能的路径，这是无效的。我该如何改进这一点，所以检查大网格是可行的？就像不检查是否有阻塞的出口，但如果您知道任何其他改进方法，请告诉我。

Answer 1

在网格图中，当且仅当宽度或高度为偶数（或两者）时，才存在汉密尔顿循环。从左上角开始，如果高度是奇数，一直向下，然后反复上下，同时在顶部留一个空间。到达右侧拐角后，您可以一直向上并再次向左。

4*5:

S<<<
v>v^
v^v^
v^v^
>^>^

4*4:

S<<<
v>v^
v^v^
>^>^

对于奇数宽度，只需将其旋转 90 度即可。

这在 O(width*height) 中运行。

PS：我目前正在寻找一种在有限制的网格图中找到 Hamilton Cycles 的方法（用于实现完美的蛇播放器）

Answer 2

在网格图上找到一个哈密顿循环真的没有那么难。我在下面实现了它。我使用了std::array 作为板子，因为我想稍微训练一下 constexpr 函数的编写。理论解释见here。

#include <iostream>
#include <array>
#include <optional>
#include <algorithm>

// Allows iterating of a two dimensional array in the cross direction.
template<typename Iter>
struct cross_iterator {
    using difference_type = typename Iter::difference_type;
    using value_type = typename Iter::value_type;
    using pointer = typename Iter::pointer;
    using reference = typename Iter::reference;
    using iterator_category = typename Iter::iterator_category;

    constexpr cross_iterator(Iter it, size_t pos) : _it(it), _pos(pos)
    {}

    constexpr auto& operator*() {
        return (*_it)[_pos];
    }

    constexpr auto& operator++() {
        ++_it;
        return *this;
    }

    constexpr auto& operator++(int) {
        _it++;
        return *this;
    }

    constexpr auto& operator--() {
        --_it;
        return *this;
    }

    constexpr auto& operator--(int) {
        _it--;
        return *this;
    }

    constexpr bool operator==(const cross_iterator<Iter> &other) const {
        return _pos == other._pos && _it == other._it;
    }

    constexpr bool operator!=(const cross_iterator<Iter> &other) const {
        return !(*this == other);
    }

    constexpr auto& operator+=(difference_type n) {
        _it += n;
        return *this;
    }

    Iter _it;
    const size_t _pos;
};

template<typename Iter>
cross_iterator(Iter it, size_t pos) -> cross_iterator<std::decay_t<decltype(it)>>;

template<size_t N, size_t M = N>
using board = std::array<std::array<int, N>, M>; 

template<size_t N, size_t M = N>
constexpr std::optional<board<N, M>> get_ham_cycle() {
    if constexpr ( N%2 == 1 && M%2 == 1 ) {
        if constexpr( N == 1 && M == 1 ) {
            return {{{{0}}}};
        }
        else {
            // There is no Hamiltonian Cycle on odd side grid graphs with side lengths > 1
            return {};
        }
    } else 
    {

    std::optional<board<N,M>> ret {std::in_place};
    auto &arr = *ret;

    int count = 0;
    arr[0][0] = count++;

    if constexpr ( N%2 == 0 ) {
        for(auto i = 0ul; i < N; ++i) {
            // We fill the columns in alternating directions
            if ( i%2 == 0 ) {
                std::generate(std::next(begin(arr[i])), end(arr[i]), [&count] () { return count++; });
            } else {
                std::generate(rbegin(arr[i]), std::prev(rend(arr[i])), [&count] () { return count++; });
            }
        }
        std::generate(cross_iterator(rbegin(arr), 0), std::prev(cross_iterator(rend(arr), 0)), [&count] () { return count++; });
    } else {
        for(auto j = 0ul; j < M; ++j) {
            // We fill the rows in alternating directions
            if ( j%2 == 0 ) {
                std::generate(std::next(cross_iterator(begin(arr)), j), cross_iterator(end(arr), j), [&count] () { return count++; });
            } else {
                std::generate(cross_iterator(rbegin(arr), j), std::prev(cross_iterator(rend(arr), j)), [&count] () { return count++; });
            }
        }
        std::generate(rbegin(arr[0]), std::prev(rend(arr[0])), [&count] () { return count++; });
    }

    return ret;
    }
}

int main() {
    auto arr = *get_ham_cycle<30>();

    for(auto i = 0ul; i < 30; ++i) {
        for(auto j = 0ul; j < 30; ++j) {
            std::cout << arr[i][j] << '\t';
        }
        std::cout << '\n';
    }

    return 0;
}

Answer 3

您可以尝试分而治之：拿起您的棋盘，将其分成小块（比如说 4 个），然后为每一块找到正确的路径。困难的部分是定义什么是正确的道路。您需要一条从前一段进入下一段的路径，经过每个单元格。为此，您可以将这些部分分成更小的部分，等等，直到您只有一个单元格。

请注意，这种方法不会为您提供所有可能的周期，但几乎总是相同的。