形式语言：R-trivial 是什么意思？

Question

什么是 R-trivial 语言？ IE。定义是什么？

什么是 R-平凡幺半群？

上下文：正式语言。 Afaik，R-trivial 语言是无星语言的子集。

我主要有形式语言和自动机理论的背景，但对句法幺半群表征了解不多。所以最好用这种语言的一个小例子来给出一个基本的定义。

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（为了支持多个 QA 站点，因为我不想让任何 QA 站点留在后面，也不想让那个问题也出现在那里，我还在这些其他站点上发布了这个问题：cstheory.stackexchange.com， math.stackexchange.com, mathoverflow.net. 一般来说，我反对交叉发布，但在这种情况下，由于它们都有相同的目标，即成为特定领域问题的完整参考，交叉发布问题是您最好的选择可以。）

Answer 1

如果上面的 Green's relation R 与等式一致，则 Monoid 是 R-平凡的。

Answer 2

hereMichael Blondin也给出了很好的答案：

半群 $S$ 是 $R\text{-trivial}$ 当且仅当 $a : R : b \Rightarrow a = b$ 对于所有 $a, b \in S$ 其中 $R$ 是 Green's relation $ a : R : b \Leftrightarrow aS^1 = bS^1$。 $R\text{-trivial}$ 幺半群的集合形成了一个变体，最终可以由方程 $(xy)^n x = (xy)^n$ 定义。

如果一种语言的syntactic monoid 是$R\text{-trivial}$，那么它就是$R\text{-trivial}$。这种语言的多样性也被定义为所有语言的集合，这些语言可以写成形式为 $A_0^* a_1 A_1^* a_2 \ldots a_n A_n^*$ 的语言的不相交并集，其中 $n \geq 0$， $a_1, \ldots, a_n \in A$, $A_i \subseteq A \setminus {a_{i+1}}$ 为 $0 \leq i \leq n-1$。 [Pin] 中给出的另一个我不熟悉的定义使用了所谓的 automates extensifs（“扩展自动机”）。您可以在[Pin] 中找到有关这些语言的更多结果。这本书有英文版，我没看过，但我很确定你能找到相同的内容。

为了完整起见，这里是一个$R\text{-trivial}$语言的例子： ${b}^* a {a,c}^* b {a}^* b {a, b,c}^* \cup {d}^* \cup abcd$。您可以使用前面的定义构建其他示例。请注意，各种语言的所有属性都适用于$R\text{-trivial}$ 语言，因此它们在并集、交集和补集下是封闭的。它应该有助于构建更复杂的语言。

Answer 3

另一个特征，也许对 CS 人来说更清楚，是常规语言是 R 平凡的，当且仅当其最小确定性有限自动机是部分有序的，也就是说，它没有循环（自循环不被视为循环）。