重复 fmap 的乐趣答案

【问题标题】：Fun with repeated fmap重复 fmap 的乐趣
【发布时间】：2012-02-02 22:51:22
【问题描述】：

我在玩仿函数，发现了一些有趣的东西：

简单地说，id 可以被实例化为 (a -> b) -> a -> b 类型。

使用列表函子我们有fmap :: (a -> b) -> [a] -> [b]，它与map 相同。

对于((->) r)函子（来自Control.Monad.Instances），fmap是函数组合，所以我们可以实例化fmap fmap fmap :: (a -> b) -> [[a]] -> [[b]]，相当于(map . map)。

有趣的是，fmap 八次给了我们(map . map . map)！

所以我们有

0: id = id
1: fmap = map
3: fmap fmap fmap = (map . map)
8: fmap fmap fmap fmap fmap fmap fmap fmap = (map . map . map)

这种模式会继续吗？为什么/为什么不？是否有一个公式来计算我需要将函数映射到 n 次嵌套列表上的 fmaps 数量？

我尝试编写一个测试脚本来寻找 n = 4 情况的解决方案，但 GHC 在大约 40 fmaps 时开始占用过多内存。

【问题讨论】：

它很快退化成一个循环或类似的东西，但我忘记了确切的公式。（顺便说一句，lambdabot 实际上将(.) 定义为fmap。）
@ehird：我认为你是对的。似乎fmap n = 4k 次（对于 n 至少 8）给出了(map . map . map)。不过，我仍然很好奇为什么会发生这种情况。特别是因为实例发生了变化。 n = 8 时为(.) (.) (.) (.) (.) map map map，而n = 12 时为(.) (.) (.) (.) (.) (.) (.) (.) map (.) map map。

标签： haskell functor

【解决方案1】：

我无法解释原因，但这是循环的证明：

假设k >= 2 和fmap^(4k) :: (a -> b) -> F1 F2 F3 a -> F1 F2 F3 b，其中Fx 代表未知/任意Functor。 fmap^n 代表 fmap 应用于 n-1 fmaps，而不是 n-fold 迭代。感应的开始可以手动验证或查询 ghci。

fmap^(4k+1) = fmap^(4k) fmap
fmap :: (x -> y) -> F4 x -> F4 y

与 a -> b 统一产生a = x -> y，b = F4 x -> F4 y，所以

fmap^(4k+1) :: F1 F2 F3 (x -> y) -> F1 F2 F3 (F4 x -> F4 y)

现在，对于fmap^(4k+2)，我们必须将F1 F2 F3 (x -> y) 与(a -> b) -> F5 a -> F5 b 统一起来。
因此F1 = (->) (a -> b)和F2 F3 (x -> y)必须与F5 a -> F5 b统一。
因此F2 = (->) (F5 a) 和F3 (x -> y) = F5 b，即F5 = F3 和b = x -> y。结果是

fmap^(4k+2) :: F1 F2 F3 (F4 x -> F4 y)
             = (a -> (x -> y)) -> F3 a -> F3 (F4 x -> F4 y)

对于fmap^(4k+3)，我们必须统一a -> (x -> y)和(m -> n) -> F6 m -> F6 n)，得到a = m -> n，
x = F6 m和y = F6 n，所以

fmap^(4k+3) :: F3 a -> F3 (F4 x -> F4 y)
             = F3 (m -> n) -> F3 (F4 F6 m -> F4 F6 n)

最后，我们必须统一F3 (m -> n)和(a -> b) -> F7 a -> F7 b，所以F3 = (->) (a -> b)、m = F7 a和n = F7 b，因此

fmap^(4k+4) :: F3 (F4 F6 m -> F4 F6 n)
             = (a -> b) -> (F4 F6 F7 a -> F4 F6 F7 b)

循环完成。当然，结果来自查询 ghci，但也许推导对它的工作原理有一些启发。

【讨论】：

【解决方案2】：

我将给出一个稍微简单的答案：map 是 fmap 的特化，(.)也是fmap 的特化。所以，通过替换，你得到了你发现的身份！

如果您有兴趣更进一步，Bartosz Milewski 有一个很好的 writeup，它使用米田引理来明确说明为什么函数组合是一个单子。

【讨论】：