选择具有最大积分但具有给定成本的玩家的算法[关闭]

Question

我需要一个执行以下操作的算法：

在一个 NBA 梦幻联赛中，给定：

1. 每个玩家的平均总分
2. 每个玩家的价格
3. 工资帽

选择最佳的 9 人阵容。

举个简单的例子，假设联盟中只有四名球员，你有 10,000 美元的工资帽，并且你想要最佳（即最高分）三人阵容。以下是平均积分和价格：

勒布朗詹姆斯：30分/场； 5,000 美元
科比·布莱恩特：25分/场； $3,500
德隆-威廉姆斯：20分/场； 2,500 美元
Shelvin Mack：15分/场； 2,000 美元

最佳阵容是科比、威廉姆斯和麦克，这将花费 8,000 美元并获得 60 分。

还有一个进一步的限制：程序必须为每个位置选择一定数量的球员（例如，两名控球后卫、两名得分后卫、两名小前锋、两名大前锋和一名中锋）。这就是让程序设计变得困难的原因。

Answer 1

首先，很容易看出问题的泛化是NP-Hard，并且可以从Knapsack Problem瞬间归约：

给定一个背包问题：weight=W, costs_of_items=C, weight_of_items=X，将问题简化为这个问题，不限制玩家数量（泛化最多为k玩家，其中k由你选择）。

因此，我们可以得出结论，该问题没有已知的多项式时间解。

但是，我们可以开发基于knapsack pseudo-polynomial solution 的解决方案。
为简单起见，假设我们只对小前锋的数量进行了限制（可以应用答案的原则来添加更多限制）。

那么，问题可以通过以下递归方式解决：

if i is not a forward, same as the original knapsack, while maintaining the #forwards
    f(i,points,forwards) = max {
                f(i-1,points-C[i],forwards)
                f(i-1,points,forwards)
                           }
if i is a forward:
    f(i,points,forwards) = max {
                //We used one of the forwards if we add this forward to the team
                f(i-1,points-C[i],forwards-1) 
                f(i-1,points,forwards)
                           }

其中一个维度为零时，基数将全为零：f(0,_,_)=f(_,0,_)=0（与普通背包相同）和f(_,_,-1)=-infnity（无效解决方案）

答案将是f(2,W,n)（转发次数为2，如果不同，也应更改）。 W 是工资帽，n 是球员人数。

DP 解将自下而上填充表示递归的矩阵以获得伪多项式时间解（仅当限制条件不变时才为伪多项式）。

通过重复这个过程，并为每个标准添加一个维度，这个问题将通过 DP 解决方案得到最佳解决。

您将获得的复杂性是O(B^p * W * n) - 其中：
B 是“分支因素” - 在您的情况下，每个位置的玩家人数+1（为零）B=3。
W = 工资帽
n = 可供选择的玩家数量

---

如果您发现最优解太耗时，我建议您选择启发式解决方案，例如hill climbing 或Genetic Algorithms，它们会尽量优化结果可以，但不能保证找到全局最大值。

Answer 2

使用动态规划可以轻松解决这个问题。参考this

让f[i][j] 成为我们在第一个i 玩家使用j 美元可以获得的最高分，所以

f[i][j] = 最大值{

1. f[i - 1][j] //我们不选择第i个玩家
2. f[i - 1][j - cost[i]] + point[i] //我们选择他

}

最后f[TOTALPLAYER][MONEYCAP] 是答案。

主要思想是决定是否为每个玩家选择他。

数组f[][] 只是用来加速搜索过程。

顺便说一句，Chowlett 是对的。