两个函数是否相等？

Question

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一般问题似乎很难解决。这是这个问题的一个明显受限的version。

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如何确定函数的相等性？

假设我们有

function f() {
    // black box code.
}

function g() {
    // black box code.
}

我们对函数进行数学定义。所以

if for all x in domain, f(x) === g(x) then f === g

• 我们如何处理域？
• 我们如何才能确定f === g

通过源代码检查是愚蠢的，因为

function f(i) {
     return i % 2;
}

function g(i) {
     var returnVal = i % 2;
     return returnVal;
}

显然是相等的。这些是微不足道的示例，但您可以想象更复杂的函数相等但源不相等。

您可以假设f 和g 没有我们关心的副作用。

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正如@Pointy 提到的，最好限制域。与其让等式函数尝试猜测域，不如让等式函数的用户提供一个域。

如果没有在某个地方定义它们的域，就问两个函数是否相等是没有意义的。

简单来说，我们可以假设域的问题是所有整数的集合或其子集，因此我们需要一个函数：

function equal (f, g, domain) {

}

域的结构无关紧要，可以使问题尽可能简单。您还可以假设 f 和 g 在整数域上表现良好并且不会崩溃和烧毁。

您可以假设f 和g 停止！

@Pointy 再次指出了非确定性函数的一个很好的例子

如果我们将 f 和 g 限制为确定性会怎样。

Answer 1

根据Rice's theorem这是不可能的：

在可计算性理论中，Rice 的 定理指出，对于任何 部分的非平凡属性 功能，没有通用和 判断是否存在的有效方法 算法计算偏函数 使用该属性。

如果您将函数的域限制为有限，那么您可以使用蛮力简单地验证 ∀x: f(x) = g(x)，但这对于无限域是不可能的。

Answer 2

不可能创建一种机制，给定两个函数，总是可以确定它们是否总是返回相同的值。

这源于您尝试解决的问题等同于 Halting problem。^{(source; 第 4 页)}

当然，您可以通过启发式方法来做到这一点，但总会有他们无法确定的情况。

假设您将范围缩小到在有限域上停止功能，那么快速确定仍然不是一件容易的事。如果我们假设输入位于 {1, ..., n} 中，输出位于 {1, ..., m} 中，则有 mⁿ 个可能的函数（对于每个输入，有n 个可能的输出）。如果您对 k 个点进行采样，则将其缩小，并使它们相等的概率更大，但是仍然可能有 m^(n-k) 个不同的函数。因此，您可以很快确定它们是否可能相等，但要确定的是，您必须检查所有 n 个可能的输入值。

如果您想通过采样以外的其他方式进行操作，我相信您必须对函数的源代码执行某种static analysis，这几乎是微不足道的。

此外，如果域不是有限的，Rice's theorem 会阻止这样的算法存在。

Answer 3

假设您谈论的是一系列 JavaScript 函数，它们被限制为一个整数参数，并且没有可见的外部副作用，我仍然认为通常不可能确定相等性。考虑一下：

function a(n) {
  var today = new Date();
  if (today.getFullYear() === 2012 && today.getMonth() === 1 && today.getDate() === 3)
    return 0;
  return n * n;
}

这个函数看起来很像

function b(n) { return n * n; }

除了 2012 年 2 月 3 日，它看起来完全像：

function c(n) { return 0; }

如果您真的是在谈论一个实用的真实软件来执行这样的分析，并且如果您真的对要测试的功能的细节没有太多控制权，那么这似乎是不可能的。也许您可以构建一组函数必须遵循的“规则”，但即便如此，在不测试域中的每个值的情况下确定相等性的前景似乎也很遥远。

edit——我只是想到了一些事情：如果你的两个函数都返回函数怎么办？现在，要判断是否f == g，首先要弄清楚f(n)返回的函数是否对所有n 等于 g(n) 为所有 n 返回的函数。嗯……

Answer 4

一般来说没有办法做到这一点。您可以针对输入的随机样本测试这两个函数，并检查它们在这些特定值上是否相等，但通常测试每个可能的输入是不可行的。

Answer 5

Coq 和 Agda 等证明验证系统可能能够满足您的需求。